Bestäm minst värde

Du skulle kunna bilda en funktion $u\left(x\right)=z^2, dvs u={x^2}^{}+\frac{1}{x^2}$

Derivera denna funktion och ta fram min för denna

Varför skriver du att u(x) =Z²

Därför att jag då får en enklare funktion att derivera
Du kan lika väl låta u(x) motsvara uttrycket under rottecknet för z

Jag ska alltså derivera uttrycket under roten roten ur tecknet för att hitta minsta värdet på x.  När jag väl vet vad x är kan jag hitta absolutbeloppet av z . Visst är det så man ska tänka ?

Ja, du deriverar uttrycket u(x) för att finna minimum, dvs de x-värden som gör beloppet av z minst

Det här får jag 

Det här får jag men det verkar vara fel

Ditt uttryck för G' stämmer inte.

Du har att G(y) = y^-2 + y²

Det betyder att G'(y) = -2y^-3 + 2y

Är derivatan rätt nu? Jag använde kvotregeln för 1/y² och deriverade y² på det vanliga sättet att man tr ner exponenten och minskar den med 1. Vilket alltså blir 

2y

Ja, den är rätt.

Men du kan använda deriveringsregeln för potensuttryck (D(xⁿ) = n•x^n-1) även för första termen y^-2.

Det är onödigt att använda kvotregeln där.

Mittenraden stämmer inte eftersom du endast har deriverat den ena termen i VL.

Man kan alltså tänka 

y^-2 + y² = G

-2y^-3 + 2y = G'

För att hitta minsta värde så sätter jag G'= 0

-2y³ +2y=0

först delar jag med minus 2

y³ -y =0

y(y²-1)=0

y₁=0

y²-1=0

y²=1

y= $\pm \sqrt{1}$

y₂ = 1

y₃ =-1

$$\begin{gathered} \left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{\frac{1}{y^2}+y^2} \\ Om jag sätter y=0 då får jag att absolutleoppet blir 0 \\ om jag sätter in y=1 då får jag att absolutbeloppet blir \sqrt{2} \\ om jag sätter in y=-1 då får jag också att absolutbeloppet blir \sqrt{2} \\ y=0 ger mig alltså det minsta värdet på absolubeloppet av z, för då blir \\ \left|z\right|=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{2}}*\sqrt{2}=1 \\ ger oss att x*y =1 \\ dvs \frac{1}{y }*y =1 \\ men om y=0 då gäller inte det här uttrycket. Nu ser jag att \sqrt{2} bör ge oss det rätta svaret \end{gathered}$$

Alternativ lösning:

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2\ge 2$

Katarina149 skrev:

-2y^-3 + 2y = G'

För att hitta minsta värde så sätter jag G'= 0

-2y³ +2y=0

Mellan dessa två rader tappade du bort minustecknet i exponenten.

(y = 0 är alltså ingen lösning till G'(y) = 0.)

@yngve 

Ok jag ser att det blev fel där. Det borde stå y^-3 inte y³