Bestäm när en triangels area är maximal
Uppgift: Sätt f(x)=xe^(-x/2). Låt P vara en punkt på kurvan y=f(x) med x-koordinaten a, där a>2. Beteckna den punkt där normalen i P skär x-axeln med R, och låt Q vara punkten (a,0). Undersök om det finns något värde på a för vilket arean av triangeln PQR är maximal, och bestäm det i så fall.
Mitt försök att lösa uppgiften:
Punkten P=(a, f(a))=(a, ae^(-a/2)). Punkten R=(z, 0) där z är x-värdet där tangenten till kurvan skär x-axlen. Använder mig av formeln för att räkna ut tangenten till f(x) när x=a: y=k(x-a)+f(a). Hittar värdet på z genom att hitta x-värdet då tangenten till kurvan är 0, k(x-a)+f(a)=0. För att hitta k deriverar vi först f(x) och stoppar sedan in värdet a i funktionen av derivatan, f'(x)=e^(-x/2)-1/2xe^(-x/2). Sedan får vi k: k=f'(a)=e^(-a/2)-1/2ae^(-a/2) Vi får: k(x-a)+f(a)=(e^(-a/2)-1/2ae^(-a/2))(x-a)+ae^(-a/2). Känns jobbigt att räkna ut när det här är 0, så misstänker att jag har tänkt fel? Tips?
Jag ser att du skriver "tangenten till kurvan", men det står "normalen i P skär x-axeln", så jag läste inte längre.
Laguna skrev:Jag ser att du skriver "tangenten till kurvan", men det står "normalen i P skär x-axeln", så jag läste inte längre.
jahaja, det tabbade jag mig på alltså. Tack, återkommer om jag stöter på nya hinder
Försökte lösa den med normalen istället
,
Vet inte hur jag ska räkna ut x-värden för punkten R där normalen skär x-axeln. Det är ett för jobbigt uttryck att jobba med.
Om du visar steg för steg hur du har räknat finns det en chans att någon kan hjälpa dig. Det är ingen mening med att vi försöker gissa hur du har gjort för att komma fram till dina uttryck, chansen att vi gissar rätt är väldigt nära 0.
Smaragdalena skrev:Om du visar steg för steg hur du har räknat finns det en chans att någon kan hjälpa dig. Det är ingen mening med att vi försöker gissa hur du har gjort för att komma fram till dina uttryck, chansen att vi gissar rätt är väldigt nära 0.
Det jag har räknat ut är normalen till kurvan som beskrivs i uppgiften. k räknade jag ut genom att räkna ut f'(a) där a är punkten där normalen skär tangenten till kurvan. Förstår du bättre nu?
Din ekvation är inte för jobbig att jobba med, men låt k vara kvar tills du har fått fram avståndet RQ så blir det mindre att skriva.
Man kan rita upp triangeln PRQ och se hur arean beror av f(a) och f'(a) så behöver man aldrig bilda formeln för normalen, men uträkningarna är i princip samma.
