6 svar
57 visningar
Conny2004 är nöjd med hjälpen
Conny2004 32
Postad: 17 jan 2021

Bestäm på formen a+bi

Hejsan

Jag verkar ha väldigt svårt att förstå hur det blir då man substituerar a+bi för z i ekvationer. Jag lägger vid en av de uppgifter jag har svårt för och hoppas att någon kan förklara så att jag förstår.

(1-i)z = 3+i

Jag förstår att jag byter ut z mot a+bi och multiplicerar in.

(1-i)(a+bi)=3+ia+bi-ai-bi2=3+i

Och sen tror jag att nästa steg blir att byta ut i^2 mot -1.

a+bi-ai+b=3+i

Men sen hakar det upp sig och jag förstår inte vad som blir Re z och Im z och hur jag bestämmer deras värde. Jag förstår till exempel inte -ai då a ska vara Re z, men där finns ju ett i... Det är otroligt frustrerande och jag kommer inte vidare med liknande uppgifter. 

 

Vänlig hälsning

Conny2004

Dr. G 6175
Postad: 17 jan 2021

Om 

z=a+ibz=a+ib

där a och b är reella tal så är 

Re(z) = a 

Im(z) = b 

Obersevera att Im(z) är ett reellt tal. 

ingenjörskompis 5
Postad: 17 jan 2021

Hej!

När du byter ut z till a+bi gör du ett antagande att denna ekvation kan lösas med hjälp av ett reellt tal a och ett icke-reellt tal med koefficienten b.

Så du förlänger och får:

a+bi-a+b=3+i

I och med att varken a eller b på något sätt kan bli icke-reella så har du egenligen skapat ett ekvationssystem där:

a-a+b=3ochbi=i

Vill du vara säker på att det är rätt så stoppar du in a och b och kontrollräknar!

Conny2004 32
Postad: 18 jan 2021

Tack snälla för era svar. 

Var min uträkning rätt så långt? Ingenjörskompis beräkning skiljer sig lite från min, -a mot vad jag har gjort -ai. I mitt huvud så ska ju inte a stå framför i. Jag har låst mig till att a är reellt tal och att b alltid hör till framför i. Och att i en sådan uträkning hör alla a ihop och alla b ihop, samt att alla b står vid i, varpå det krockar när a hamnar framför i. 

 

om bi=i så måste b=1

Men a-a+b=3 och b=1. Hur kan jag behandla a-a=2? För det kan väl inte vara sant?

Yngve 20047 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 18 jan 2021 Redigerad: 18 jan 2021

Hej Conny.

Ja, din uträkning var rätt så långt. Ingenjörskompis råkade tappa ett i på termen ai i vänsterledet.

Det gäller alltså att 

a + bi - ai + b = 3 + i

Nu kan du göra på lite olika sätt, men en metod som jag förespråkar är att samla alla termer på ena sidan av likhetstecknet:

a + bi - ai + b - 3 - i = 0

Samla sedan ihop alla realdelar för sig och alla imaginärdelar för sig:

(a+b-3) + (b-a-1)i = 0

I vänsterledet har du nu ett komplext tal med realdel a+b-3 och imaginärdel b-a-1.

Det gäller allmänt att för att ett komplext tal ska vara lika med 0 så måste både dess realdel och dess imaginärdel vara lika med 0.

Det ger dig de båda ekvationerna

a+b-3 = 0

b-a-1 = 0

Du har alltså nu ett linjärt ekvationssystem som du löser på valfritt sätt.

Conny2004 32
Postad: 18 jan 2021

Tack, Yngve! Jag höll på att skriva detta inlägget medan ditt svar kom. Nu är jag helt med på hur det skall lösas. Så här gjorde jag:

a+bi-ai+b=3+i

där de ensamma a och b är reella tal, vilket ger

a+b=3

och där a och b framför respektives i ger

b-a=1

Som ger mig

b=3-a

b=1+a

 

3-a=1+a

2=2a

a=1

 

In med a=1 i a+b=3

b=3-1

b=2

 

Som slutligen ger mig ekvationen z=1+2i

Testar:

(1-i)(1+2i)=3+i

1+2i-i-2i2 =3+i

1+i-(-2)=3+i

3+i=3+i

VS=HS

 

Jag lyckades att komma fram till rätt svar, om än en något krokig väg. Det var mycket mer översiktligt att samla alla termer på vänstersidan samt reeldelar för sig och imaginärdelar för sig, som du gjorde. Det tar jag med mig vidare. Stort tack för hjälpen! 

Bra jobbat!

Svara Avbryt
Close