Bestäm parameter a där systemet är begränsad som inte går mot 0 då t=>inf

Om realdelen av ett egenvärde är positiv, så går den tillhörande termen i lösningen mot oändligheten.

Om realdelen av ett egenvärde är negativ, så går den tillhörande termen i lösningen mot noll.

Man söker alltså ett värde på $a$ så att (minst) ett av egenvärdena har realdelen 0.

Sekularekvationen är $\lambda^2 - (a-2)\,\lambda + 1 = 0$. Den har garanterat inte lösningen $\lambda = 0$ (p.g.a. den konstanta termen 1). Man är alltså ute efter komplexa lösningar med realdelen 0. Det finns exakt ett $a$-värde som ger realdelen 0.

LuMa07 skrev:

Om realdelen av ett egenvärde är positiv, så går den tillhörande termen i lösningen mot oändligheten.

Om realdelen av ett egenvärde är negativ, så går den tillhörande termen i lösningen mot noll.

Man söker alltså ett värde på $a$ så att (minst) ett av egenvärdena har realdelen 0.

Sekularekvationen är $\lambda^2 - (a-2)\,\lambda + 1 = 0$. Den har garanterat inte lösningen $\lambda = 0$ (p.g.a. den konstanta termen 1). Man är alltså ute efter komplexa lösningar med realdelen 0. Det finns exakt ett $a$-värde som ger realdelen 0.

Jag förstår inte hur realdelen av ett egenvärde som är positivt gör att tillhörande termen går mot oändligheten? Samma sak hur det negativa egenvärde gör att termen går mot oändligheten. Hur ser den termen ut? Hur vet man att man är ute just efter komplexa lösningar där realdelen där skild från 0?

destiny99 skrev:

Hur ser den termen ut? 

https://www.pluggakuten.se/trad/bestamma-ett-varde-pa-a/?order=all#post-4588629c-6eb9-4be5-9600-b3750155feb3

Man söker lösningen där realdelen är LIKA med noll, d.v.s. inte skild från noll.

Om realdelen är skild från noll, så är $e^{\lambda\,t}$ obegrånsat då $t\to\infty$ eller så går $e^{\lambda\,t}$ mot noll då $t\to \infty$. Dessa vill man inte ha

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Hur ser den termen ut? 

https://www.pluggakuten.se/trad/bestamma-ett-varde-pa-a/?order=all#post-4588629c-6eb9-4be5-9600-b3750155feb3

Man söker lösningen där realdelen är LIKA med noll, d.v.s. inte skild från noll.

Om realdelen är skild från noll, så är $e^{\lambda\,t}$ obegrånsat då $t\to\infty$ eller så går $e^{\lambda\,t}$ mot noll då $t\to \infty$. Dessa vill man inte ha

Jag förstår inte riktigt var i uppgiften det står explicit att lösningen skall ha en realdel som är 0 ?  Det sista du skriver antar jag att du menar om vi har en lösning på formen x(t)=c1e^t([1 1]cos4t-[1 2] sin(4t))

destiny99 skrev:

Jag förstår inte riktigt var i uppgiften det står explicit att lösningen skall ha en realdel som är 0 ?

Det är inte lösningen som har realdelen noll. Egenvärdet av ODE:s matris skall ha realdelen noll.

Begränsad lösning => egenvärdets realdel är inte positiv

Går ej mot noll => egenvärdets realdel är inte negativ

Tillsammans => egenvärdets realdel är noll

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Jag förstår inte riktigt var i uppgiften det står explicit att lösningen skall ha en realdel som är 0 ?

Det är inte lösningen som har realdelen noll. Egenvärdet av ODE:s matris skall ha realdelen noll.

Begränsad lösning => egenvärdets realdel är inte positiv

Går ej mot noll => egenvärdets realdel är inte negativ

Tillsammans => egenvärdets realdel är noll

Aa ok jag förstår. Men räcker det med att bara ett av egenvärden har realdel 0 eller måste båda vara det? Vi har ju detta lösning nedan och uttrycket under rottecknet måste isåfall vara <=0  vilket sker då 0<=a<=2 och om realdelen ska vara 0 så måste isåfall a=2

Tänker jag rätt? Hur ska lösningen bestämmas i sådant fall?