Bestäm partikelns hastighet v och dess acceleration a som funktioner av theta

Använd uttrycken för hastighetsvektorn och accelerationsvektorn i polära koordinater.

Du vet kurvans ekvation, r(θ).

Du vet vinkelaccelerationen d²θ/dt²som ger dig vinkelhastigheten dθ/dt och vinkeln θ som funktion av tiden. 

Du kan då ta fram dr/dt och d²r/dt², när du vet dr/dθ och d²r/dθ².

Dr. G skrev:

Använd uttrycken för hastighetsvektorn och accelerationsvektorn i polära koordinater.

Du vet kurvans ekvation, r(θ).

Du vet vinkelaccelerationen d²θ/dt²som ger dig vinkelhastigheten dθ/dt och vinkeln θ som funktion av tiden. 

Du kan då ta fram dr/dt och d²r/dt², när du vet dr/dθ och d²r/dθ².

Vi kanske ska ta en sak i taget nu så jag inte blandar ihop all data som är givet. Jag vet r(theta) och theta prick prick är d^2theta/dt?

Ja, precis.

Givet är d²θ/dt² (θ prick prick) och kurvan r(θ).

Ta fram de skalära storheterna

dr/dθ

d²r/dθ²

dθ/dt (θ prick)

θ(t)

så kan du även få ut 

dr/dt (r prick)

och 

d²r/dt² (r prick prick)

Dr. G skrev:

Ja, precis.

Givet är d²θ/dt² (θ prick prick) och kurvan r(θ).

Ta fram de skalära storheterna

dr/dθ

d²r/dθ²

dθ/dt (θ prick)

θ(t)

så kan du även få ut 

dr/dt (r prick)

och 

d²r/dt² (r prick prick)

dr/d0=c0(prick)sin0

d^2r/d0=c(0prickprick)sin0+c0prick*0prickcos0

d0/dt=0prick+C

0(t)=theta+Ctheta

b och c är sannolikt konstanter.

dθ/dt är primitiv funktion till konstanten α, så

dθ/dt = αt

med rätt begynnelsevillkor. 

Dr. G skrev:

b och c är sannolikt konstanter.

dθ/dt är primitiv funktion till konstanten α, så

dθ/dt = αt

med rätt begynnelsevillkor. 

Så vad är felet? Och theta prick är väl inte alfat? Jag är inte så bra på det här.

$\ddot{\theta }=\alpha$

$\int \ddot{\theta }dt = \int \alpha dt$

$\dot{\theta }=\alpha t + c$.

c = 0 följer av BV.

$\dot{\theta }=\alpha t$

$\int \dot{\theta }dt=\int \alpha tdt$

$\theta =\frac{\alpha t^2}{2}+ d$.

d = 0 följer av BV.

PATENTERAMERA skrev:

$\ddot{\theta }=\alpha$

$\int \ddot{\theta }dt = \int \alpha dt$

$\dot{\theta }=\alpha t + c$.

c = 0 följer av BV.

$\dot{\theta }=\alpha t$

$\int \dot{\theta }dt=\int \alpha tdt$

$\theta =\frac{\alpha t^2}{2}+ d$.

d = 0 följer av BV.

Aa ok då förstår jag.

Hej! 

Såhär långt kom jag  , hur går jag vidare?

I polära koordinater så gäller det att

$v_r=\dot{r}=\frac{dr}{d\theta }·\frac{d\theta }{dt}$

$v_{\theta }=r·\frac{d\theta }{dt}$.

Om du vill använda kartesiska koordinater så har du att

$v_x=\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial r}·\frac{dr}{d\theta }·\frac{d\theta }{dt}+\frac{\partial x}{\partial \theta }·\frac{d\theta }{dt}$

$v_y=\dot{y}=\cdots$.

PATENTERAMERA skrev:

I polära koordinater så gäller det att

$v_r=\dot{r}=\frac{dr}{d\theta }·\frac{d\theta }{dt}$

$v_{\theta }=r·\frac{d\theta }{dt}$.

Om du vill använda kartesiska koordinater så har du att

$v_x=\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial r}·\frac{dr}{d\theta }·\frac{d\theta }{dt}+\frac{\partial x}{\partial \theta }·\frac{d\theta }{dt}$

$v_y=\dot{y}=\cdots$.

Så vad är nästa steg nu? att hitta rprick samt rprickprick?

Börja med att bestämma om du vill använda polära koordinater eller kartesiska koordinater. Slutför därefter beräkningarna för hastigheten innan du ger dig på accelerationen.

PATENTERAMERA skrev:

Börja med att bestämma om du vill använda polära koordinater eller kartesiska koordinater. Slutför därefter beräkningarna för hastigheten innan du ger dig på accelerationen.

Jag vill använda polära koordinater.

Kör på det då. Du har ju formlerna i #11.

PATENTERAMERA skrev:

Kör på det då. Du har ju formlerna i #11.

$r =b-c\cos \theta$

$\frac{dr}{d\theta }=c\sin \theta$, eller hur?

PATENTERAMERA skrev:

$r =b-c\cos \theta$

$\frac{dr}{d\theta }=c\sin \theta$, eller hur?

Aa juste sant. Så d²r/dtheta²=ccostheta eller?

Ja.

Så vilket svar får du på hastigheten?

Tänk på att de vill ha svaret som en funktion av $\theta$. Så de vill nog att du skall uttrycka t i termer av $\theta$ i svaret.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Verkar som att jag får inte samma svar som facit gällande v. 

Som jag sa, lös t ur det uttryck som du tog fram tidigare. Dvs

$\theta =\frac{\alpha t^2}{2}$.

PATENTERAMERA skrev:

Som jag sa, lös t ur det uttryck som du tog fram tidigare. Dvs

$\theta =\frac{\alpha t^2}{2}$.

Ja juste. Jag får dock inte rätt på accelerationen nu. Vad är felet?

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\dot{\theta }c\sin \theta \right)=\ddot{\theta }c\sin \theta +{\dot{\theta }}^{2}c\cos \theta$.

PATENTERAMERA skrev:

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\dot{\theta }c\sin \theta \right)=\ddot{\theta }c\sin \theta +{\dot{\theta }}^{2}c\cos \theta$.

Hur fick du detta? Vad är det du deriverade?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\dot{\theta }c\sin \theta \right)=\ddot{\theta }c\sin \theta +{\dot{\theta }}^{2}c\cos \theta$.

Hur fick du detta? Vad är det du deriverade?

Vi har räknat ur r-prick tidigare.

$\dot{r}=\dot{\theta }c\sin \theta$.

Derivera detta map t. Använd  produktregel, kedjeregel et cetera.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\dot{\theta }c\sin \theta \right)=\ddot{\theta }c\sin \theta +{\dot{\theta }}^{2}c\cos \theta$.

Hur fick du detta? Vad är det du deriverade?

Vi har räknat ur r-prick tidigare.

$\dot{r}=\dot{\theta }c\sin \theta$.

Derivera detta map t. Använd  produktregel, kedjeregel et cetera.

Jo den känner jag igen. Men om jag ska derivera med avseende på t så får jag thetapric*csin(theta)+thetaprickc*cos(theta)*theta prick. Jag får som dig

Så vad är problemet?

PATENTERAMERA skrev:

Så vad är problemet?

Allt blev rätt nu.