19 svar
295 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3847
Postad: 24 aug 2019 Redigerad: 24 aug 2019

Bestäm produkten av alla sinusvärden för hela gradtal mellan 0° och 180°

Hej!

Nyligen undrade jag vad som skulle hända om man multiplicerar alla sinusvärden för hela gradtal mellan 1°1^\circ och 180°180^\circ (inklusive 1°1^\circ och 180°180^\circ):

sin(1°)sin(2°)...sin(179°)sin(180°)\sin(1^\circ)\sin(2^\circ)...\sin(179^\circ)\sin(180^\circ)

Tyvärr är svaret ganska tråkigt, produkten blir ju noll eftersom sin(180°)=0\sin(180^\circ)=0. Men vad händer om vi tar bort sin(180°)\sin(180^\circ) och istället studerar följande produkt?

sin(1°)sin(2°)...sin(178°)sin(179°)\sin(1^\circ)\sin(2^\circ)...\sin(178^\circ)\sin(179^\circ)

Denna produkt är faktiskt lika med ett rationellt tal. Kluringen består i att ta reda på vilket detta rationella tal är.

Albiki 5004
Postad: 24 aug 2019 Redigerad: 24 aug 2019

Noterar att sin1°=sin179°\sin 1^\circ = \sin 179^\circ, och så vidare ända fram till sin90°\sin 90^\circ som är lika med 11.

Visa spoiler

Produkten kan skrivas

    (k=189sinkπ180)2\displaystyle(\prod\limits_{k=1}^{89}\sin\frac{k\pi}{180})^2.

AlvinB 3847
Postad: 24 aug 2019

Intressant observation!

Hur beräknar du produkten sin(1°)sin(2°)...sin(89°)\sin(1^\circ)\sin(2^\circ)...\sin(89^\circ)?

Smaragdalena 45394 – Moderator
Postad: 24 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019
Visa spoiler

sin(1o)=cos(89o)
sin(2o)=cos(88o)
sin(3o)=cos(87o)
sin(4o)=cos(86o)
och så vidare.

På detta sätt kan vi kombinera ihop produkterna till

k=189sinkπ180coskπ180=k=189sin2kπ180=12k=189sinkπ90

Kan man upprepa denna manöver?

AlvinB 3847
Postad: 24 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019
Smaragdalena skrev:
Visa spoiler

sin(1o)=cos(89o)
sin(2o)=cos(88o)
sin(3o)=cos(87o)
sin(4o)=cos(86o)
och så vidare.

På detta sätt kan vi kombinera ihop produkterna till

k=189sinkπ180coskπ180=k=189sin2kπ180=12k=189sinkπ90

 

Kan man upprepa denna manöver?

Också en intressant observation!

Jag måste dock rätta till ett litet fel. Faktorn 1/21/2 måste ju vara innanför produktsymbolen. Flyttar vi den utanför skulle den ju bli (1/2)89(1/2)^{89}.

Det ser ut att gå att upprepa manövern, men det ser också ut att behöva göras många gånger. Lyckas du komma fram till något med hjälp av denna metod?

Lyckas du komma fram till något med hjälp av denna metod?

Inte ikväll! (gäsp)

Albiki 5004
Postad: 24 aug 2019

Jag trodde att det var strängt förbjudet att ej posta svar på kluringar under spoilers. Det är vad arga skribenter på detta forum skrivit till mig. 

Glömde spoilers, men kan fixa det.

tomast80 3236
Postad: 25 aug 2019

Det bör väl bli:

Visa spoiler

i=1179sin(iπ180)=1802179=452177\displaystyle \prod_{i=1}^{179} \sin (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}=\frac{45}{2^{177}}

AlvinB 3847
Postad: 25 aug 2019
tomast80 skrev:

Det bör väl bli:

Visa spoiler

i=1179sin(iπ180)=1802179=452177\displaystyle \prod_{i=1}^{179} \sin (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}=\frac{45}{2^{177}}

Det stämmer!

Hur kommer du fram till detta?

tomast80 3236
Postad: 25 aug 2019
AlvinB skrev:
tomast80 skrev:

Det bör väl bli:

Visa spoiler

i=1179sin(iπ180)=1802179=452177\displaystyle \prod_{i=1}^{179} \sin (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}=\frac{45}{2^{177}}

Det stämmer!

Hur kommer du fram till detta?

Genom successiv upprepning av Smaragdlenas manöver. Då faller faktorer av 12\frac{1}{2} ut i varje iteration.

Smaragdalena 45394 – Moderator
Postad: 25 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019
Visa spoiler

Använder vi Albikis idé en gång till får vi att 1289sink=189kπ45=1289((sink=144kπ45)2+1), eftersom den mittersta termen inte har någon att para ihop sig med och sin 90o=1.

Använder jag min idé igen får jag att (k=144sinkπ45)2=12k=122·sinkπ22,5=1244k=122sinkπ22,5

Sammanlagt har vi då 1289(1244k=122sinkπ22,5+1)

Nästa "varv" på endast produkten ger 1222k=111sinkπ11,25 eftersom det är ett jämnt antal termer, alltså totalt 1289(1244·1222k=111sinkπ11,25+1)=1289(1266k=111sinkπ11,25+1)

Sedan fungerar det inte lika snyggt, eftersom 6/11,25 inte blir 0,5.

Var har jag tänkt/räknat fel?

EDIT: Jag tror jag har hittat två, nej tre, fel:

Visa spoiler

Det blir 44 i nämnaren, inte 45, och gånger ½, inte +1.

tomast80 skrev:
AlvinB skrev:
tomast80 skrev:

Det bör väl bli:

Visa spoiler

i=1179sin(iπ180)=1802179=452177\displaystyle \prod_{i=1}^{179} \sin (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}=\frac{45}{2^{177}}

Det stämmer!

Hur kommer du fram till detta?

Genom successiv upprepning av Smaragdlenas manöver. Då faller faktorer av 12\frac{1}{2} ut i varje iteration.

Jag får fram din nämnare, men hur får du fram täljaren?

tomast80 3236
Postad: 25 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019

Det är gjort utifrån ekvationen: zn=1z^n=1

Då kan man faktorisera:

zn-1=i=0n-1(z-zi)...\displaystyle z^n-1=\prod_{i=0}^{n-1}(z-z_i)\Rightarrow ...

SeriousCephalopod 2127
Postad: 25 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019

[Kommentarer på work in progress]

Jag har också försökt angripa problemet via komplexa tal, mest som en kompaktare notation, men jag har inte producerat något som rör mig mot täljaren. 

Visa spoiler

Min ansats var att definiera z=cos(2π/360)+isin(2π/360)z = \cos(2\pi/360) + i \sin(2\pi / 360) dvs så z360=1z^{360} = 1 och använda 

sin(k°)=zk-z360-k2i\sin(k^\circ) = \frac{z^k - z^{360 - k}}{2i}

vilket ger mig några intressanta kompakta former. 

P=k=1179sin(k°)=k=1179zk-z360-k2iP = \prod_{k = 1}^{179} \sin(k^\circ) = \prod_{k = 1}^{179} \frac{z^k - z^{360 - k}}{2i}

varifrån jag bryter ut zkz^k ur varje faktor, vartefter deras produkr blir -i-i vilket tar ut ii:na från sinusnämnarna och jag landar i

P=12179k=1179(1-z2k)P = \frac{1}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{179} (1 - z^{2k})

Vilket jag kan manipulera på lite olika intressanta vis. Exempelvis kan vi göra omskrivningen 

P=12179z180k=189(1-z2k)(1-z180+2k)P = \frac{1}{2^{179}}z^{180}\prod_{k = 1}^{89}(1 - z^{2k})(1 - z^{180 + 2k})

och utnyttja att z180=-1z^{180} = -1 för att få till (1-z2k)(1-z180+2k=(1-z2k)(1+z2k)(1 - z^{2k})(1 - z^{180 + 2k} = (1 - z^{2k})(1 + z^{2k}) vilket ger

P=(-1)2179k=189(1-z4k)P = \frac{(-1)}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{89} (1 - z^{4k})

Vilket kan upprepas en andra gång för att få 

P=12179k=144(1-z8k)P = \frac{1}{2^{179}}\prod_{k = 1}^{44}(1 - z^{8k})

Men därefter fastnar jag eftersom jag avverkat de tre 2-faktorerna i 180 och inte längre kan använda detta trick. Även om jag kunde fortsätta reducera antalet faktorer så är jag fundersam hur produkten ska bli 180 i slutändan. 

Att det finns ett slarv i något steg skulle eg. vara förlösande. 

Albiki 5004
Postad: 25 aug 2019

Enligt MathStack Exchange gäller det att den sökta produkten är lika med

Visa spoilerk=1179sinkπ180=1802179=452175\displaystyle\prod_{k=1}^{179}\sin\frac{k\pi}{180} = \frac{180}{2^{179}} = \frac{45}{2^{175}}.
Albiki 5004
Postad: 25 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019

Talet 21752^{175} heter 47 oktiljarder 890 oktiljoner 485 septiljarder 652 septiljoner 59 sextiljarder 26 sextiljoner 823 kvintiljarder 698 kvintiljoner 344 kvadriljarder 598 kvadriljoner 447 triljarder 161 triljoner 988 biljarder 85 biljoner 597 miljarder 568 miljoner 237 tusen femhundrasextioåtta.

Albiki 5004
Postad: 25 aug 2019

Tiopotenser och deras namn:

Biljon: 12

Biljard: 15

Triljon: 18

Triljard: 21

Kvadriljon: 24

Kvadriljard: 27

Kvintiljon: 30

Kvintiljard: 33

Sextiljon: 36

Sextiljard: 39

 

Ännu större tiopotensers namn:

Noniljon: 54

Deciljon: 60

Novemdeciljon: 114

Vigintiljon: 120

Centiljon: 600

AlvinB 3847
Postad: 25 aug 2019 Redigerad: 25 aug 2019

Snyggt jobbat allihopa! Det ser ut som vi fick ihop lite teamwork på denna.

Min egen lösning byggandes på komplexa tal följer nedan.

Visa spoiler

Eulers formel ger:

sinx=eix-e-ix2i=-i2eix-e-ix=i2e-ix-eix\sin\left(x\right)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\dfrac{i}{2}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=\dfrac{i}{2}\left(e^{-ix}-e^{ix}\right)

Insättes detta i vår produkt fås:

k=1179sinπk180=k=1179i2e-iπk180-eiπk180\displaystyle\prod_{k=1}^{179}\sin\left(\frac{\pi k}{180}\right)=\prod_{k=1}^{179}\frac{i}{2}\left(e^{-i\frac{\pi k}{180}}-e^{i\frac{\pi k}{180}}\right)

Om vi nu bryter ut e-iπk180e^{-i\frac{\pi k}{180}} ur parentesen erhålls:

=k=1179i·e-iπk18021-ei2πk180=i2179k=1179e-iπk1801-ei2πk180=\displaystyle=\prod_{k=1}^{179}\frac{i\cdot e^{-i\frac{\pi k}{180}}}{2}\left(1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}\right)=\left(\frac{i}{2}\right)^{179}\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}}\left(1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}\right)=

=-i2179k=1179e-iπk180Π1k=11791-ei2πk180Π2\displaystyle=\frac{-i}{2^{179}}\underbrace{\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}}}_{\Pi_1}\underbrace{\prod_{k=1}^{179}1-e^{i\frac{2\pi k}{180}}}_{\Pi_2}

Nu har vi två produkter, Π1\Pi_1 och Π2\Pi_2 att ta itu med. Π1\Pi_1 kan bestämmas genom att studera dess logaritm:

lnΠ1=ln(k=1179e-iπk180)=k=1179lne-iπk180=\displaystyle\ln\left(\Pi_1\right)=\ln(\prod_{k=1}^{179}e^{-i\frac{\pi k}{180}})=\sum_{k=1}^{179}\ln\left(e^{-i\frac{\pi k}{180}}\right)=

k=1179-iπk180=-iπ180k=1179k=-iπ180·180·1792=-i·179π2\displaystyle\sum_{k=1}^{179}-i\frac{\pi k}{180}=-i\frac{\pi}{180}\sum_{k=1}^{179}k=-i\frac{\pi}{180}\cdot\frac{180\cdot 179}{2}=\frac{-i\cdot179\pi}{2}

Π1\Pi_1 blir då:

Π1=e-i·179π2=(e-iπ2)179=-i179=i\Pi_1=e^{\frac{-i\cdot179\pi}{2}}=(e^{-i\frac{\pi}{2}})^{179}=\left(-i\right)^{179}=i

För att beräkna Π2\Pi_2 kan vi studera nollställena till polynomet z180-1z^{180}-1. Dessa kan skrivas:

z1=1z_1=1

z2=ei2π180z_2=e^{i\frac{2\pi}{180}}

z3=ei2π·2180z_3=e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}

......

z180=ei2π·179180z_{180}=e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}

Detta ger följande faktorisering:

z180-1=z-1(z-ei2π180)(z-ei2π·2180)...(z-ei2π·179180)z^{180}-1=\left(z-1\right)(z-e^{i\frac{2\pi}{180}})(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}})...(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}})

Divideras nu båda led med (z-1)(z-1) fås:

z180-1z-1=z-ei2π180z-ei2π·2180...z-ei2π·179180\dfrac{z^{180}-1}{z-1}=\left(z-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)

Den generaliserade konjugatregeln ger att:

z179+z178+...+z+1=z-ei2π180z-ei2π·2180...z-ei2π·179180z^{179}+z^{178}+...+z+1=\left(z-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(z-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)

Insättning av z=1z=1 ger sedan Π2\Pi_2

1+1+...+1+1180 ganger=1-ei2π1801-ei2π·2180...1-ei2π·179180\underbrace{1+1+...+1+1}_{180\ \text{g}\stackrel{\circ}{\text{a}}\text{nger}}=\left(1-e^{i\frac{2\pi}{180}}\right)\left(1-e^{i\frac{2\pi\cdot2}{180}}\right)...\left(1-e^{i\frac{2\pi\cdot179}{180}}\right)

180=Π2180=\Pi_2

Nu kan vi bestämma vår ursprungliga produkt:

k=1179sinπk180=-i2179·Π1·Π2=-i2179·i·180=1802179=452177\displaystyle\prod_{k=1}^{179}\sin\left(\frac{\pi k}{180}\right)=\frac{-i}{2^{179}}\cdot\Pi_1\cdot\Pi_2=\frac{-i}{2^{179}}\cdot i\cdot 180=\dfrac{180}{2^{179}}=\dfrac{45}{2^{177}}

På liknande sätt kan även härledas att:

k=1n-1sinπkn=n2n-1\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}

för alla nn\in\mathbb{N}.

Till Albiki: Har du länken till Math StackExchange-tråden? Skulle vara intressant att läsa.

PS. Du har ett slarvfel i din senaste spoiler. Det gäller ju att 180/2179=45/2177180/2^{179}=45/2^{17\color{red}7}

SeriousCephalopod 2127
Postad: 25 aug 2019

Aaaah. Insättning. Det borde jag tänkt på. Snyggt. 

Svara Avbryt
Close