Bestäm resten då 4^182 delas med 7.

Hej och välkommen till pluggakuten!!

Vet du om några moduloräkningsregler? 

Använd räkneregler för modulär aritmetik.

Kolla här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kongruensrakning/kongruensrakning 

Tänker jag rätt

4^182 mod7  =  (4^2)^92  mod7  och detta går att skriva som 16^92 mod7

Sedan testar jag hur många gånger 7 går i 16 vilket är 2 ggr med en rest på 2

Är jag ute och cyklar??

uppsalastudent99 skrev:

Tänker jag rätt

4^182 mod7  =  (4^2)^92  mod7  och detta går att skriva som 16^92 mod7

Sedan testar jag hur många gånger 7 går i 16 vilket är 2 ggr med en rest på 2

 

Är jag ute och cyklar??

Inte nödvändigtvis. Du skriver inte vad du vill göra med kvoten 2 och resten 2, men jag fortsätter med att 16^92 är kongruent med 2^92 mod 7 pga det du räknade ut (det är resten 2). Om man tittar på några små 2-potenser: 2, 4, 8, är det någon som verkar extra bra modulo 7?

Jag skulle undersöka alla potenser av 4 och se vad de är kongruenta med modulo 7. Förhoppningsvis är någon potens kongruent med antingen 1 eller 6 (d v s -1) och då är det lätt att räkna vidare.

Oj såg att jag skrev fel menar åklar (4^2)^91

Jag får ju resten 2 och därför får jag 2^91 mod 7

Alltså måste jag dela upp potensen igen och då ser jag bara alterntivet 13x7

Då ser den ut som (2^7 mod 7)^13 detta ger mig en rest 2 och då får jag 2^13 mod 7, här fastnar jag då jag ej kan dela upp 13

Notera att $4^3=64 = 1\, mod \, 7$.

Vidare: $4^{182}=4^{3\cdot 60+2}=\left(4^3\right)^{60}\cdot 4^2$.

Nyttja nu räkneregler för moduloräkning (multiplikations-regeln).

Då borde du kunna komma vidare.

Laguna skrev:

uppsalastudent99 skrev:

Tänker jag rätt

4^182 mod7  =  (4^2)^92  mod7  och detta går att skriva som 16^92 mod7

Sedan testar jag hur många gånger 7 går i 16 vilket är 2 ggr med en rest på 2

 

Är jag ute och cyklar??

Inte nödvändigtvis. Du skriver inte vad du vill göra med kvoten 2 och resten 2, men jag fortsätter med att 16^92 är kongruent med 2^92 mod 7 pga det du räknade ut (det är resten 2). Om man tittar på några små 2-potenser: 2, 4, 8, är det någon som verkar extra bra modulo 7?

8 är extra bra modulo 7, för det är samma som 1.

Tack för all hjälp!! Har jag fått rätt svar om min rest blir 16?

uppsalastudent99 skrev:

Tack för all hjälp!! Har jag fått rätt svar om min rest blir 16?

Nej, resten måste vara mindre än 7.

om jag utifrån det dr lund skrev:

Notera att 43=64=1mod743=64=1 mod 7.

Vidare: 4^182=4^3·60+2=(4^3)^60·4^2

detta ger mig ju 1^60x4^2 mod 7 =4^2 mod 7

vilket är 16 och detta ger mig en rest två. Alltså är svaret 2?