8 svar
227 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3847
Postad: 16 aug 2019

Bestäm rötter till fjärdegradspolynom.

Hej!

För lite mindre än ett år sedan kom jag dragandes med en kluring där det gällde att bestämma exakta uttryck för rötterna till ett fjärdegradspolynom. Nu har jag ytterligare en kluring i lite liknande format, men jag har ökat svårighetsgraden något. Problemet lyder:

Bestäm exakta uttryck på formen a+bia+bi där a,ba,b\in\mathbb{R} för alla nollställen till polynomet:

P(z)=z4-z3+z2-z+1P(z)=z^4-z^3+z^2-z+1

Albiki 5072
Postad: 17 aug 2019

Utnyttja symmetrin hos polynomet PP för att reducera problemet  till ett enklare problem.

Visa spoiler

Det är uppenbart att z0z\neq 0 så det går bra att dividera med z2z^2 för att få uttrycket

    P(z)/z2=z2+z-2-(z+z-1)+1.P(z)/z^2=z^2+z^{-2}-(z+z^{-1})+1.

Inför w=z+z-1w=z+z^{-1} och notera w2=z2+z-2+2w^2 = z^2+z^{-2}+2 så att man kan skriva Q(w)=w2-w-1.Q(w) = w^2-w-1. Om w0w_0 är en rot till detta andragradspolynom får man motsvarande två rötter till polynomet PP via sambandet

    z=0.5w0±0.25w02-1.z=0.5w_0\pm\sqrt{0.25w_0^2-1}.

AlvinB 3847
Postad: 17 aug 2019
Albiki skrev:

Utnyttja symmetrin hos polynomet PP för att reducera problemet  till ett enklare problem.

Visa spoiler

Det är uppenbart att z0z\neq 0 så det går bra att dividera med z2z^2 för att få uttrycket

    P(z)/z2=z2+z-2-(z+z-1)+1.P(z)/z^2=z^2+z^{-2}-(z+z^{-1})+1.

Inför w=z+z-1w=z+z^{-1} och notera w2=z2+z-2+2w^2 = z^2+z^{-2}+2 så att man kan skriva Q(w)=w2-w-1.Q(w) = w^2-w-1. Om w0w_0 är en rot till detta andragradspolynom får man motsvarande två rötter till polynomet PP via sambandet

    z=0.5w0±0.25w02-1.z=0.5w_0\pm\sqrt{0.25w_0^2-1}.

Intressant tillvägagångssätt! Vad får du för svar?

Laguna 11844
Postad: 17 aug 2019 Redigerad: 17 aug 2019
Visa spoiler

Tittar man på P(-z) så har man en geometrisk summa. Det har man förstås annars också, men det blev mer uppenbart nu. 

Ordet symmetri gav mig en idé. 

AlvinB 3847
Postad: 17 aug 2019
Laguna skrev:
Visa spoiler

Tittar man på P(-z) så har man en geometrisk summa. Det har man förstås annars också, men det blev mer uppenbart nu. 

Ordet symmetri gav mig en idé. 

Detta börjar likna min egen lösning. :-)

Dock är man en bit ifrån klar även när man gjort denna insikt. Vad får du för svar?

Laguna 11844
Postad: 17 aug 2019
AlvinB skrev:
Laguna skrev:
Visa spoiler

Tittar man på P(-z) så har man en geometrisk summa. Det har man förstås annars också, men det blev mer uppenbart nu. 

Ordet symmetri gav mig en idé. 

Detta börjar likna min egen lösning. :-)

Dock är man en bit ifrån klar även när man gjort denna insikt. Vad får du för svar?

Visa spoiler

Rötterna till z5=-1z^5 = -1, utom -1.

AlvinB 3847
Postad: 17 aug 2019
Laguna skrev:
AlvinB skrev:

[...]

Visa spoiler

Rötterna till z5=-1z^5 = -1, utom -1.

Ja, och vad blir då dessa rötter?

Albiki 5072
Postad: 17 aug 2019
Ytterligare detaljer

Polynomet w2-w-1w^2-w-1 har de två rötterna w=1+52w = \frac{1+\sqrt{5}}{2} (gyllene snittet) och w=1-52w=\frac{1-\sqrt{5}}{2} vilket ger diskriminanten

    w24-1=-(5-58)\frac{w^2}{4}-1 =-(\frac{5-\sqrt{5}}{8}) respektive w24-1=-(5+58)\frac{w^2}{4}-1 = -(\frac{5+\sqrt{5}}{8})

så att de fyra lösningarna till ursprungsekvationen är 

    z1=1+54+i5-58z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4}+\text{i}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}

    z2=1+54-i5-58z_2=\frac{1+\sqrt{5}}{4}-\text{i}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}

    z3=1-54+i5+58z_3=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\text{i}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

    z4=1-54-i5+58z_4=\frac{1-\sqrt{5}}{4}-\text{i}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}.

AlvinB 3847
Postad: 24 aug 2019 Redigerad: 24 aug 2019

Ursäkta sent svar, men jag måste säga att det var kul att det gick att lösa det på ett helt annat sätt än det jag tänkte mig!

Min egen idé gick ut på att använda en variant på den generaliserade konjugatregeln:

x2n+1+1=(x+1)(x2n-x2n-1+x2n-2+...-x+1)x^{2n+1}+1=(x+1)(x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}+...-x+1)

Vilket ger samma sak som Laguna kommit fram till, nämligen att z5+1z^5+1 har samma rötter som P(z)P(z) med undantag för z=-1z=-1.

Nu börjar den lite mer algebraintensiva delen av lösningen. På det gamla vanliga sättet finner man att z5+1z^5+1 har rötterna:

z1=eiπ5z_1=e^{i\frac{\pi}{5}}

z2=ei3π5z_2=e^{i\frac{3\pi}{5}}

z3=ei7π5z_3=e^{i\frac{7\pi}{5}}

z4=ei9π5z_4=e^{i\frac{9\pi}{5}}

z5=ei5π5=-1z_5=e^{i\frac{5\pi}{5}}=-1

För att finna exakta uttryck för dessa gäller det att finna uttryck för sinus och cosinus för vinklarna π/5\pi/5 och 3π/53\pi/5 (De andra två rötterna är komplexkonjugat av dessa). Jag började med att låta θ=π/5\theta=\pi/5 och konstatera att 5θ=π5\theta=\pi och π-2θ=3θ\pi-2\theta=3\theta. Då fås:

sin(π-2θ)=sin(3θ)\sin(\pi-2\theta)=\sin(3\theta)

sin(2θ)=sin(3θ)\sin(2\theta)=\sin(3\theta)

Sedan används formlerna sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta) och sin(3θ)=3sin(θ)cos2(θ)-sin3(θ)\sin(3\theta)=3\sin(\theta)\cos^2(\theta)-\sin^3(\theta):

2sin(θ)cos(θ)=3sin(θ)cos2(θ)-sin3(θ)2\sin(\theta)\cos(\theta)=3\sin(\theta)\cos^2(\theta)-\sin^3(\theta)

Eftersom sin(θ)0\sin(\theta)\neq0 kan båda led delas med sin(θ)\sin(\theta):

2cos(θ)=3cos2(θ)-sin2(θ)2\cos(\theta)=3\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)

2cos(θ)=3cos2(θ)-(1-cos2(θ))2\cos(\theta)=3\cos^2(\theta)-(1-\cos^2(\theta))

2cos(θ)=4cos2(θ)-12\cos(\theta)=4\cos^2(\theta)-1

4cos2(θ)-2cos(θ)-1=04\cos^2(\theta)-2\cos(\theta)-1=0

Sättes nu t=cos(θ)t=\cos(\theta) fås en andragradsekvation, vars lösningar är:

t=1±54t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}

cos(θ)>0\cos(\theta)>0 erhålls att:

cosθ=cos(π5)=1+54\cos\left(\theta\right)=\cos(\dfrac{\pi}{5})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}

Med trigonometriska ettan fås sedan ett uttryck för sin(π/5)\sin(\pi/5):

sinπ5=1-cos2π5=...=10-254\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\dfrac{\pi}{5}\right)}=...=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

sin(3π/5)=sin(π-3π/5)=sin(2π/5)\sin(3\pi/5)=\sin(\pi-3\pi/5)=\sin(2\pi/5) blir:

sin(3π5)=sin(2π5)=2sin(π5)cos(π5)=...=10+254\sin(\dfrac{3\pi}{5})=\sin(\dfrac{2\pi}{5})=2\sin(\dfrac{\pi}{5})\cos(\dfrac{\pi}{5})=...=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}

Trigonometriska ettan ger cosinusvärdet:

cos(3π5)=1-54\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}

Detta tillsammans med det faktum att z3=z2¯z_3=\bar{z_2} och z4=z1¯z_4=\bar{z_1} ger rötterna:

z1=1+54+10-254iz_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}+\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i

z2=1-54+10+254iz_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}+\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i

z3=1-54-10+254iz_3=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i

z4=1+54-10-254iz_4=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}-\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i

Svara Avbryt
Close