Bestäm rötterna

Så här har jag tänkt

Jag förstår inte riktigt vad du har försökt göra. Har du polynomdividerat bort 2?

ja, jag försökte hitta produkterna av z och sen dividera med täljaren

Varför vill du dividera med talet 2?

ja trodde det skulle ge mig de övriga rötterna

Då $z_1 = 1+i$ och $z_2 = 1-i$ är rötter till ekvationen får vi enligt faktorsatsen att 

$z^4-2z^3 + z^2+2z-2 = g(z)(z-z_1)(z-z_2)$

där $g(z)$ är något andragradspolynom.

Vi har:

$$\begin{gathered} z^4-2z^3+z^2+2z-2=0 \\ z=1+i \\ \overline{z}=1-i \\ (z-(1+i\left)\right)(z-(1-i\left)\right)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \\ {z}^2-(1-i^2)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \end{gathered}$$

Arup skrev:

Vi har:

$$\begin{gathered} z^4-2z^3+z^2+2z-2=0 \\ z=1+i \\ \overline{z}=1-i \\ (z-(1+i\left)\right)(z-(1-i\left)\right)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \\ {z}^2-(1-i^2)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \end{gathered}$$

Här går mycket fel. Beräkna först

och se sedan på #7

Jag har löst det, ersätte g(z) med k

Har du kontrollerat ditt svar?

Om ja, vad fick du för resultat?

Om nej, gör det och berätta vad du fick för resultat.

Yngve skrev:

Har du kontrollerat ditt svar?

Om ja, vad fick du för resultat?

Om nej, gör det och berätta vad du fick för resultat.

Nix, men jag kikade på facit och det verkade stämma.

Jag har svårt se hur jag får fram ekvationen genom att multiplicera rötterna. Borde så här

$(1-i)(-1)\left(1\right)\hspace{0.17em}?$

Varför ska du multiplicera rötterna? 

Produkten av alla rötter kommer ge $\pm$ konstanttermen i polynomet, är det det du tänker på? 

ok, hur verifierar jag då så att det stämmer ?=

Stoppa i värdena i ekvationen och se om det blir noll. Vad var tanken med produkten?

Arup skrev:

Jag har löst det, ersätte g(z) med k

[...]

Din polynomdivision i #10 är inte komplett.

Den ska se ut såhär:

Arup skrev:

Jag har svårt se hur jag får fram ekvationen genom att multiplicera rötterna. Borde så här

$(1-i)(-1)\left(1\right)\hspace{0.17em}?$

Du tänker nog på att om z₁ är ett nollställe till polynomet så är z-z₁ en faktor I polynomet.

Eftersom nollställena är z₁ = 1+I, z₂ = 1-i, z₃ = 1 och z₄ = -1 så är både (z-z₁), (z-z₂), (z-z₃) och (z-z₄) faktorer I polynomet.

Det betyder att polynomet kan faktoriseras enligt följande:

z⁴-2z³+z²+2z-2 = k(z-(1+i))(z-(1-i))(z-1)(z+1)

Där k är en konstant.