Bestäm rötterna

Så här har jag tänkt

Jag förstår inte riktigt vad du har försökt göra. Har du polynomdividerat bort 2?

ja, jag försökte hitta produkterna av z och sen dividera med täljaren

Varför vill du dividera med talet 2?

ja trodde det skulle ge mig de övriga rötterna

Då $z_1 = 1+i$ och $z_2 = 1-i$ är rötter till ekvationen får vi enligt faktorsatsen att 

$z^4-2z^3 + z^2+2z-2 = g(z)(z-z_1)(z-z_2)$

där $g(z)$ är något andragradspolynom.

Vi har:

$$\begin{gathered} z^4-2z^3+z^2+2z-2=0 \\ z=1+i \\ \overline{z}=1-i \\ (z-(1+i\left)\right)(z-(1-i\left)\right)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \\ {z}^2-(1-i^2)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \end{gathered}$$

Arup skrev:

Vi har:

$$\begin{gathered} z^4-2z^3+z^2+2z-2=0 \\ z=1+i \\ \overline{z}=1-i \\ (z-(1+i\left)\right)(z-(1-i\left)\right)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \\ {z}^2-(1-i^2)=z^4-2z^3+z^2+2z-2 \end{gathered}$$

Här går mycket fel. Beräkna först

och se sedan på #7

Jag har löst det, ersätte g(z) med k

Har du kontrollerat ditt svar?

Om ja, vad fick du för resultat?

Om nej, gör det och berätta vad du fick för resultat.

Yngve skrev:

Har du kontrollerat ditt svar?

Om ja, vad fick du för resultat?

Om nej, gör det och berätta vad du fick för resultat.

Nix, men jag kikade på facit och det verkade stämma.

Jag har svårt se hur jag får fram ekvationen genom att multiplicera rötterna. Borde så här

$(1-i)(-1)\left(1\right)\hspace{0.17em}?$

Varför ska du multiplicera rötterna? 

Produkten av alla rötter kommer ge $\pm$ konstanttermen i polynomet, är det det du tänker på? 

ok, hur verifierar jag då så att det stämmer ?=

Stoppa i värdena i ekvationen och se om det blir noll. Vad var tanken med produkten?

Arup skrev:

Jag har löst det, ersätte g(z) med k

[...]

Din polynomdivision i #10 är inte komplett.

Den ska se ut såhär:

Arup skrev:

Jag har svårt se hur jag får fram ekvationen genom att multiplicera rötterna. Borde så här

$(1-i)(-1)\left(1\right)\hspace{0.17em}?$

Du tänker nog på att om z₁ är ett nollställe till polynomet så är z-z₁ en faktor I polynomet.

Eftersom nollställena är z₁ = 1+I, z₂ = 1-i, z₃ = 1 och z₄ = -1 så är både (z-z₁), (z-z₂), (z-z₃) och (z-z₄) faktorer I polynomet.

Det betyder att polynomet kan faktoriseras enligt följande:

z⁴-2z³+z²+2z-2 = k(z-(1+i))(z-(1-i))(z-1)(z+1)

Där k är en konstant.

Yngve skrev:

Arup skrev:

Jag har löst det, ersätte g(z) med k

[...]

Din polynomdivision i #10 är inte komplett.

Den ska se ut såhär:

Ah, just det. Jag för stora steg

Arup skrev:

ok, hur verifierar jag då så att det stämmer ?=

I det här fallet vill du kontrollera en ekvationslösning. Då är det snabbaste sättet att göra som AlexMu föreslog i #16, dvs att sötta in lösningärna i ekvationen, en i taget, och se att det stämmer.

I andra fall kanske du vill kontrollera en faktorisering. Då är det lämpligt att multiplicera ihop faktorerna och se att man får tillbaka ursprungsuttrycket.

Skulle du  kunna visa ? Jag har svårt att begripa förståelsen

Arup skrev:

Skulle du  kunna visa ? Jag har svårt att begripa förståelsen

Exempel på kontroll av ekvationslösning:

Säg att du har löst ekvationen x²-x-2 = 0 och kommit fram till lösningarna x₁ = -1 och x₂ = 2.

Du kan nu kontrollera dessa lösningar genom att först sätta in x = -1 i ekvationen och se om det stämmer och sedan sätta in x = 2 i ekvationen och se om även det stämmer.

Om båda lösningarna gör att ekvationen stämmer så är det två rätta lösningar, annars inte.

=======

Exempel på kontroll av faktorisering:

Säg att du har faktoriserat uttrycket 2x²-10x+12 och kommit fram till att faktorerna är 2, (x-3) och (x-2).

Du kan nu kontrollera denna faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna. Om du då får tillbaka ursprungsuttrycket så var faktoriseringen korrekt, annars inte:

2*(x-3)*(x-2) = 2*(x²-2x-3x+6) = 2x²-10x+12.

Det stämmer.

Aha, jag trodde man skulle man göra faktorsatsen baklänges

Arup skrev:

Aha, jag trodde man skulle man göra faktorsatsen baklänges

Nja, faktorsatsen säger att om z = a är ett nollställe till polynomet P(z), dvs om P(a) = 0 så är z-a en faktor I P(z).

Faktorsatsen baklämges böir då att om z-a är en faktor I P(z) så är z = a ett nollställe till P(z), dvs då är.P(a) = 0

Ok, så om jag vill verifiera lösningen kan jag då göra så här ?

$(z+1)(z-1)(1+i)(1-i)$

Arup skrev:

Ok, så om jag vill verifiera lösningen kan jag då göra så här ?

$(z+1)(z-1)(1+i)(1-i)$

Titta en gång till på det du har skrivit.

Vad tänker du att var och en av de fyra parenteserna ska motsvara och vad ska resultatet av multiplikationen motsvara?

ok, Ska det stå så här 

$(z+1)(z-1)(z-1-i)(z-1+i)$?

Jag kan väl lägga till en extra parentes så att jag kan se att jag har nytta av konjugatregeln.

$(z+1)(z-1)\left(\right(z-1)-i)\left(\right(z-1)+i))$

Jag tycker att OM du hade nytta av konjugatregeln så skulle det vara vettigt att göra så, men har du det?

Är inte mina $\pm i$ett konjugerande par ?

Det stämmer att talen $1 + i$ och $1-i$ utgör ett konjugerat par.

Frågan i #28 handlar dock om huruvida man har någon nytta av konjugatregeln, d.v.s. av räknelagen $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, och i så fall vilken. Det är ingen kuggfråga. Du har påstått i #27 att du ser att du har nytta av den regeln, så berätta gärna vad du ser för nytta. Om du inte berättar, så går det inte att avgöra om du tänker rätt.

Jag tycker inte att du ska krångla med att multiplicera ihop faktorerna, när det du egentligen vill göra är att kontrollera om dina lösningar till ekvationen stämmer.

Du frågade hur du kan göra det i #15 och du fick ett bra svar av AlexMu i #16.

Följ det tipset.

Jag tror jag  råka över komplicera det.

Arup skrev:

Jag tror jag  råka över komplicera det.

Japp. Vi hjälper dig gärna med att kontrollera faktoriseringar vid något annat tillfälle.

Men här räcker det med att du kontrollerar lösningarna i ursprungsekvationen.