Bestäm störst möjliga vinkel mellan två vektorer

Du kan ju räkna ut skalärprodukten på ett annat sätt också. Kan det hjälpa?

Analys skrev:

Du kan ju räkna ut skalärprodukten på ett annat sätt också. Kan det hjälpa?

Då får jag väl inte allt på formeln $X^{t}AX$? Då kan jag inte räkna ut egenvärden vilket behövs enligt formeln för störst och minst värde för Q(u)

Tänkte att skalärprodukten också är längd u • längd v • cos v. 
v skall maximeras.

Analys skrev:

Tänkte att skalärprodukten också är längd u • längd v • cos v. 
v skall maximeras.

Har dessvärre ingen aning hur man ska gå tillväga med den formeln. Förstår vad du menar, men hur kan man använda den formeln inom kvadratiska former? 

Funkar kanske inte alls i linalg, jag funderade på om man kunde hitta ett optimum på skalärprodukten mha partialdrrivering. Min på skalärprodukten = min på cos = max på vinkeln.

Kör på din första idé. Vad blir Q?

Alternativt så ser man att

v = $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$u.

Ortogonal matris med egenvärde 1.

Tillägg: 24 dec 2022 03:24

Matrisen kan ses som genererande en rotation 120˚ kring vektorn [1 1 1]^T (egenvektor till matrisen).

Det betyder att vi får maximal vinkel (120˚) mellan u och v om u är enhetsvektor som är ortogonal mot [1 1 1]^T. Tex u = [1 -1 0]^T/$\sqrt{2}$ och v = [-1 0 1]^T/$\sqrt{2}$. u•v = -1/2 = cos(vinkel) => vinkel = 120˚.

Ingen lösning på något sätt men räknat och plottat värdena av skalärprodukten.

skalärprodukten = cos alfa antar dessa värden då u och v når sfärens yta, dvs varierar mellan

1 för u = +/- (1/roten 3, 1/roten 3, 1/roten 3) , man ser 2 toppar nedan.

och 

-0,5. 

detta skulle innebära att största vinkeln var 2pi/3. Exempel på punkt:

[ 0.56093409  0.2333592  -0.79428989]

$$\begin{gathered} Använd sambandet \\ {(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \end{gathered}$$

Men det kanske är tänkt att man ska använda begrepp från linjär algebra och då får man göra på något annat sätt ...