Bestäm största och minsta värde för funktion med två variabler

Hej,

Frågan lyder: Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x,y)=x2+y2-4x-5y på mängden Ω i xy-planet, som begränsas av kurvorna med ekvation y=x och y=x(4-x).

Jag börjar med att måla upp området Ω i xy-planet:

Sedan vet jag att extrempunkterna hittas i tre ställen:

Stationära punkter då partiella derivatan är noll
Där funktionen är oderiverbar
Punkter på randkurvan

Jag börjar med att kolla på de stationära punkterna, så jag bestämer partiella derivatan för x och y:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 5 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{5}{2}$

Detta ger mig en extrempunkt: $(2, \frac{5}{2})$

2. Funktionen är deriverbar i alla punkter.

3. Nu ska jag undersöka punkterna på randkurvan, men vet inte hur jag ska gå vidare här. I tidigare uppgifter har man kunnat undersöka randkurvan i mer triviala fall som enhetscirkeln eller en triangel.

Skulle behöva hjälp med hur jag ska tänka vid undersökning av randkurvan.

matterolf123 skrev:
3. Nu ska jag undersöka punkterna på randkurvan, men vet inte hur jag ska gå vidare här. I tidigare uppgifter har man kunnat undersöka randkurvan i mer triviala fall som enhetscirkeln eller en triangel.

Skulle behöva hjälp med hur jag ska tänka vid undersökning av ranrandkurvan

På den del av randen som består av en rät linje så gäller att y = x, vilket betyder att här kan funktionen skrivas f(x) = x²+x²-4x-5x = 2x²-9x.

Nu kan du leta efter stationära punkter längs med denna linje.

Gör på liknande sätt för den andra delen av randen.

Gjorde som du föreslog:

$y = x$ ger mig $2 x^{2} - 9 x = 0 \Rightarrow x = y = \frac{9}{2} o c h x = y = 0$ . Detta ger punkterna $(\frac{9}{2}, \frac{9}{2})$ och $(0, 0)$ . Båda dessa punkter har

funktionsvärde 0.

$y = 4 x - x^{2}$ ger mig $x = 2 \pm \sqrt{4 - y}$ , när jag stoppar värdena i funktionen $f (2 + \sqrt{4 - y}, y)$ och letar upp nollställena får jag punkterna $(4, 0) o c h (2 + \sqrt{2} i, 6)$ (ej giltig). Punkten $(4, 0)$ har även den funktionsvärde 0.

Så allt som allt har jag punkterna

$f (2, \frac{5}{2}) = - \frac{41}{4}$
$f (\frac{9}{2}, \frac{9}{2}) = 0$
$f (0, 0) = 0$
$f (4, 0) = 0$

Vilket ger maxvärde = 0 och minvärde = $- \frac{41}{4}$ . Kan detta stämma?

Tillägg: 21 nov 2022 01:45

Glömde derivera innan jag letade nollställen. De nya punkterna är:

$f (2, \frac{5}{2}) = - 10.25$
$f (\frac{9}{4}, \frac{9}{4}) = - 10.125$
$f (3, 3) = - 9$
$f (1, 3) = - 9$

Vilket ger maxvärde = $- 9$ och minvärde = $- 10.25$

Svara