bestäm största och minsta värdet i ett intervall för en funktion

Rita upp kurvan så tror jag att du förstår bättre. Den har bara en extrempunkt, men den ligger utanför intervallet. Då blir ju intervallets ändpunkter starka kandidater.

jag är inte så bra på grafer, går det inte att lösa utan en graf eller måste man rita en kurva, och hur ritar jag den kurvan?

går det att hitta derivatans nollställen?

Ja, derivatans nollställe är ju där 2x-1 = 0, men är det inom det sökta intervallet? Du kanske kan tänka att för stora x så är funktionen väldigt lik f(x) = x² så kurvan är nog inte alltför olik den. Sätt också in x = 1 och x = 3 i funktionen för att se vad värdena är i ändpunkterna.

Om jag bara sätter x=1 och x=3 i funktionen då får jag ju fram svaren f(1) = 1 och f(3) = 7 alltså största och minsta värdena? men varför måste jag då derivera funktionen det är det jag inte förstår sen vad menar du men är det inom det sökta intervallet?

Om en funktion är kontinuerlig i ett intervall så återfinns eventuella största och minsta värden antingen vid eventuella stationära punkter i intervallet eller vid intervallets ändpunkter.

Så du måste derivera för att leta efter eventuella stationära punkter i intervallet. Notera att du inte behöver ta reda på vilken typ av stationära punkter vi har eftersom det enda vi bryr oss om är funktionsvärdet I dessa punkter.

==========================

Jag illustrerar med tre exempel:

Exempel 1:

$f(x)=x^2-1$ i intervallet $-1\leq x\leq2$.

$f'(x)=0$ ger $2x=0$, dvs stationär punkt vid $x=0$. Kandidater till största/minsta värde:

• Funktionsvärdet vid den stationära punkten, dvs $f(0)$, dvs $-1$
• Funktionsvärdet vid den vänstra ändpunkten, dvs $f(-1)$, dvs $0$
• Funktionsvärdet vid den högra ändpunkten, dvs $f(2)$, dvs $3$

Slutsats: Största värde $3$, minsta värde $-1$

==========================

Exempel 2:

$f(x) =x^3$ i intervallet $-1\leq x\leq1$.

$f'(x)=0$ ger $3x^2=0$, dvs stationär punkt vid $x=0$.

Kandidater till största/minsta värde:

• Funktionsvärdet vid den stationära punkten, dvs $f(0)$, dvs $0$
• Funktionsvärdet vid den vänstra ändpunkten, dvs $f(-1)$, dvs $-1$
• Funktionsvärdet vid den högra ändpunkten, dvs $f(1)$, dvs $1$

Slutsats: Största värde $1$, minsta värde $-1$

==========================

Exempel 3:

$f(x)=x^3-3x$ i intervallet $-1,5\leq x\leq1,5$

$f'(x)=0$ ger $3x^2-3=0$, dvs $x^2=1$, dvs stationära punkter vid $x=-1$ och $x=1$

Kandidater till största/minsta värde:

• Funktionsvärdet vid de stationära punkterna, dvs $f(-1)$ och $f(1)$, dvs $2$ och $-2$
• Funktionsvärdet vid den vänstra ändpunkten, dvs $f(-1,5)$, dvs $1,125$
• Funktionsvärdet vid den högra ändpunkten, dvs $f(1,5)$, dvs $7,875$

Slutsats: Största värde $7,875$ minsta värde $-2$

========================

Skissa gärna godycklig (kontinuerlig) graf för hand i ett begrönsat intervall och övertyga dig om att det stämmer att största/minsta värde återfinns vid dessa platser.

finns det inte en enklare förklaring eller är frågan så här komplicerad?

Det ser lite extra krångligt ut för att Yngves LaTeX blev knas.

hejsvejss skrev:

finns det inte en enklare förklaring eller är frågan så här komplicerad?

Nu har jag städat lite i mitt svar.

Läs det igen och se om det blir klarare nu.

Du behöver egentligen bara läsa de första två styckena.

Skippa exemplen om du tycker att det blir rörigt.

så efter jag deriverat funktionen sätter jag in 1 och 3 i den deriverade funktionen eller hur menar du?

När du har deriverat funktionen tar du reda på derivatans nollställe(n). Vad får du fram?

när jag deriverar får jag f ' (x) = 2x-1

2x-1=0

2x=1 / 2

x = 0,5

det är det jag kommer fram till

vänta nu gjorde jag så här 

2x-1 = 0

2(x-0,5) = 0

x1: 0 och x2: 0,5

Ditt första sätt var rätt. Ligger x = 0,5 inom det önskade intervallet, d v s $1\le x\le 3$?

0.5 ligger inte inom intervallet? Skulle jag säga är det bara att räkna ut f(1) och f(3) nu??

Ja, just så.