beep är nöjd med hjälpen!
beep 6
Postad: 8 aug 2018

Bestäm största värdet på funktion

 Hej,

Bestäm det största värde som funktionen y=C(e-px - e-2px)  kan anta för   x > 0

Har deriverat och fått: 

y'= 2Cpe-2px - Cpe-px

Har sedan testat att sätta y'=0 men kommer ingen vart. Det framgår inte heller i uppgiften om man ska lösa med avseende på p eller på C. Tacksam för hjälp :)

Dr. G 3208
Postad: 8 aug 2018

y' är rätt. Se om du kan faktorisera uttrycket!

Affe Jkpg 2844
Postad: 8 aug 2018

e-px*e-px=e-2px

beep 6
Postad: 9 aug 2018

Okej, om jag faktoriserar och sätter y'=0 får jag exempelvis:

Cpe-px(2e-px-1)=0

Då är antingen uttrycket Cpe-px eller 2e-px-1  =0.

För att 2e-px-1 ska vara = 0 måste e-px= 12 och det ger px =ln 2

Men härifrån vet jag inte hur jag ska fortsätta. Jag inser att jag kan sätta in  e-px = 12 i det andra uttrycket om det första villkoret gäller men det hjälper mig inte att komma fram till något svar.

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
beep skrev:

Okej, om jag faktoriserar och sätter y'=0 får jag exempelvis:

Cpe-px(2e-px-1)=0

Då är antingen uttrycket Cpe-px eller 2e-px-1  =0.

För att 2e-px-1 ska vara = 0 måste e-px= 12 och det ger px =ln 2

Men härifrån vet jag inte hur jag ska fortsätta. Jag inser att jag kan sätta in  e-px = 12 i det andra uttrycket om det första villkoret gäller men det hjälper mig inte att komma fram till något svar.

 Du har kommit fram till att x=ln(2)px=\frac{ln(2)}{p} är en stationär punkt.

Nästa steg är att avgöra om detta är en min- max- eller terrasspunkt. Vet du hur du ska göra det?

Om det är en maxpunkt så ger den det största värdet (varför?).

Annars måste du kontrollera vad som händer då x närmar sig intervallets ändpunkter, dvs då x går mot 0 och då x går mot oändligheten.

tomast80 1740
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

y=A-C(e-px-b)2 y = A-C(e^{-px}-b)^2

beep 6
Postad: 9 aug 2018

 

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

y''=Cp2e-px-4Cp2e-2px

Kan då antingen sätta e-px = 12 eller sätta in x= ln 2p för att förenkla och få:

y''=12 × Cp2 - 4Cp2 ×14 = Cp22 - Cp2

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså y''  vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen Cp2 måste p2vara positivt. Om C är positiv blir y'' < 0 och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in e-px =12 originalfunktionen får vi y=C (e-px - e-2px) = C (12 - 122) = 14C  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
beep skrev:

 

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

y''=Cp2e-px-4Cp2e-2px

Kan då antingen sätta e-px = 12 eller sätta in x= ln 2p för att förenkla och få:

y''=12 × Cp2 - 4Cp2 ×14 = Cp22 - Cp2

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså y''  vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen Cp2 måste p2vara positivt. Om C är positiv blir y'' < 0 och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in e-px =12 originalfunktionen får vi y=C (e-px - e-2px) = C (12 - 122) = 14C  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

 Det stämmer.

y''(ln(2)p)=Cp22-Cp2=-Cp22y''(\frac{ln(2)}{p})=\frac{Cp^2}{2}-Cp^2=-\frac{Cp^2}{2}

Detta innebär att det är en maxpunkt om C>0C>0 och en minpunkt om C<0.

Om C=0C=0 (eller om p=0p=0) så är funktionen y=0y=0, vilket då blir det största värdet.

Om C<0 så saknar funktionen största värde.

Står det något om konstanterna C och pp i uppgiftslydelsen?

Affe Jkpg 2844
Postad: 9 aug 2018
beep skrev:

 

Använder andraderivatan för att ta reda på om det är min- max- eller terasspunkt men stöter på ytterligare problem:

y''=Cp2e-px-4Cp2e-2px

Kan då antingen sätta e-px = 12 eller sätta in x= ln 2p för att förenkla och få:

y''=12 × Cp2 - 4Cp2 ×14 = Cp22 - Cp2

För att det ska vara en maxpunkt måste alltså y''  vara negativ, eller möjligtvis 0 i så fall och tecken studeras.

I termen Cp2 måste p2vara positivt. Om C är positiv blir y'' < 0 och då har vi alltså en maxpunkt. Är det en maxpunkt är det också maxvärdet då funktionen inte kan ha flera max- min- eller terassapunkter. 

Om vi sätter in e-px =12 originalfunktionen får vi y=C (e-px - e-2px) = C (12 - 122) = 14C  vilket också stämmer med svaret i facit. Men beror inte detta på att C är positivt som jag skrev innan? Tack för all hjälp jag fått.

Behöver man jobba med andra-derivatan?

y=f(x)f(0)=0f()=...

Åsså finns det en max/min-punkt

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Affe Jkpg skrev:

Behöver man jobba med andra-derivatan?

y=f(x)f(0)=0f()=...

Åsså finns det en max/min-punkt

Ja på något sätt måste man ta reda på vilken karaktär den stationära punkten har.

Om det är en maxpunkt så antas största värdet i den punkten, men om det är en minpunkt eller en terrasspunkt så saknas största värde.

(x = 0 ingår inte i det angivna intervallet)

Albiki 2249
Postad: 9 aug 2018
tomast80 skrev:

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

y=A-C(e-px-b)2 y = A-C(e^{-px}-b)^2

 Detta är den mest eleganta metoden; man behöver inte derivera och finna nollställen och bestämma lokala extrempunkter och studera vad som händer med yy när x0x\to 0 och när xx\to \infty.

Kvadratkompletteringen ger direkt att funktionens största värde C/4C/4 antas när xx löser ekvationen e-px-0,5=0e^{-px}-0,5 = 0.

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Albiki skrev:
tomast80 skrev:

Det går också att kvadratkomplettera och skriva på formen:

y=A-C(e-px-b)2 y = A-C(e^{-px}-b)^2

 Detta är den mest eleganta metoden; man behöver inte derivera och finna nollställen och bestämma lokala extrempunkter och studera vad som händer med yy när x0x\to 0 och när xx\to \infty.

Kvadratkompletteringen ger direkt att funktionens största värde C/4C/4 antas när xx löser ekvationen e-px-0,5=0e^{-px}-0,5 = 0.

Det gäller endast då C0C\geq 0.

Om C<0C<> så fås istället funktionens minsta värde där.

Affe Jkpg 2844
Postad: 9 aug 2018
Yngve skrev:
Affe Jkpg skrev:

Behöver man jobba med andra-derivatan?

y=f(x)f(0)=0f()=...

Åsså finns det en max/min-punkt

Ja på något sätt måste man ta reda på vilken karaktär den stationära punkten har.

Om det är en maxpunkt så antas största värdet i den punkten, men om det är en minpunkt eller en terrasspunkt så saknas största värde.

(x = 0 ingår inte i det angivna intervallet)

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

beep 6
Postad: 9 aug 2018
Yngve skrev:

 Det stämmer.

y''(ln(2)p)=Cp22-Cp2=-Cp22y''(\frac{ln(2)}{p})=\frac{Cp^2}{2}-Cp^2=-\frac{Cp^2}{2}

Detta innebär att det är en maxpunkt om C>0C>0 och en minpunkt om C<0.

Om C=0C=0 (eller om p=0p=0) så är funktionen y=0y=0, vilket då blir det största värdet.

Om C<0 så saknar funktionen största värde.

Står det något om konstanterna C och pp i uppgiftslydelsen?

Känner att jag har förstått den rätt bra nu!

Det stod inget om konstanterna C eller p utan uppgiftslydelsen var precis som jag skrev i mitt första inlägg.

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Affe Jkpg skrev:

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

Jag skrev inte att det är en terrasspunkt, jag skrev att om det är en terrasspunkt så finns inget största värde.

Affe Jkpg 2844
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Yngve skrev:
Affe Jkpg skrev:

 För terasspunkt krävs väl dubbla nollställen?

(x = nästan 0 ingår i det angivna intervallet)

Jag skrev inte att det är en terrasspunkt, jag skrev att om det är en terrasspunkt så finns inget största värde.

Behöver man då jobba med andra-derivatan?

y=f(x)limx0 f(x)=0f(ln2p)=14Climxf(x)=0

Yngve 8634 – Mattecentrum-volontär
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Affe Jkpg skrev:

Behöver man då jobba med andra-derivatan?

y=f(x)limx0 f(x)=0f(ln2p)=14Climxf(x)=0

Jag har inte sagt att man måste jobba med andraderivatan, jag har försökt hjälpa TS framåt på den väg hen har valt att lösa problemet.

Svara Avbryt
Close