Bestäm talet a så att (a^h-1)/h=0,5

Varför tror du att $\frac{e^h-1}{h}$ har värdet 1? Menar du gränsvärdet när h går mot 0? I så fall stämmer det inte.

Tänk i stället på att man kan skriva om 1 som a⁰ så ser du att du kan använda dig av derivatans definition, och att derivatan av e^x är e^x, och vad derivatan av a^x är.

Smaragdalena skrev:

Varför tror du att $\frac{e^h-1}{h}$ har värdet 1? Menar du gränsvärdet när h går mot 0? I så fall stämmer det inte.

Tänk i stället på att man kan skriva om 1 som a⁰ så ser du att du kan använda dig av derivatans definition, och att derivatan av e^x är e^x, och vad derivatan av a^x är.

(e^h-1)/h blir 1 eftersom att e^h-1=h.

Derivatan av a^Kx blir k*a^kx men eftersom k är 1 kommer derivatan av a^x bli a^x. lim h->0 (a^h-1)/2 är den konstanten som kommer ner när jag deriverar. Någonting (konstanten) multiplicerat med a^x blir ju 0,5, eller är jag helt fel på det?

Förlåt såg nu, (a^h-1)/h blir ju 0,5 själv. Det multipliceras inte med a^x för att ge 0,5..

jag har lyckats lösa uppgiften grafiskt på miniräknaren. Är det möjligt utifrån kunskaperna i Ma3 att lösa denna algebraiskt? I ledtråden i facit står endast ”pröva sig fram” eller något i den stilen. Hur gör man om man ska lösa den algebraiskt?

(e^h-1)/h blir 1 eftersom att e^h-1=h.

Detta är varken sant eller relevant. Är det något gränsvärde du tänker på? Annars beror uttryckets värde på värdet hos h.

Nej, k är inte 1, varifrån har du fått det?

Derivatan av e^kx = ke^kx, det stämmer, men derivatan av a^kx är inte ka^kx (om inte a = e).

Vad skall man upphöja e till för att talet skall få värdet a?

Smaragdalena skrev:

Varför tror du att $\frac{e^h-1}{h}$ har värdet 1? Menar du gränsvärdet när h går mot 0? I så fall stämmer det inte.

Tänk i stället på att man kan skriva om 1 som a⁰ så ser du att du kan använda dig av derivatans definition, och att derivatan av e^x är e^x, och vad derivatan av a^x är.

Är inte (e^x - 1)/x ett standardgränsvärde då x går mot 0? Mig veterligen blir det 1.

tindra03 skrev:

...

Är det möjligt utifrån kunskaperna i Ma3 att lösa denna algebraiskt? I ledtråden i facit står endast ”pröva sig fram” eller något i den stilen. Hur gör man om man ska lösa den algebraiskt?

Jag skulle då göra som Smaragdalena föreslog, att skriva $1$ som $a^0$ och $a^h$ som $a^{0+h}$

Differenskvoten kan då skrivas $\frac{a^{0+h}-a^0}{h}$.

Om vi jämför detta med differenskvoten i derivatans "h-definition" av $f(x)=a^x$, nämligen $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$, så ser vi att det sökta gränsvärdet är lika med $f'(0)$ då $f(x)=a^x$.

Du kan använda deriveringsrehlerna i formelbladet för att se att $f'(x)=a^x\cdot ln(a)$. 

Ekvationen blir alltså $a^0\cdot ln(a)=0,5$, som du kan (eller kommer att kunna) lösa med kunskaper ur Matte 3.

Smaragdalena skrev:

(e^h-1)/h blir 1 eftersom att e^h-1=h.

Detta är varken sant eller relevant. Är det något gränsvärde du tänker på? Annars beror uttryckets värde på värdet hos h.

 

Nej, k är inte 1, varifrån har du fått det?

Derivatan av e^kx = ke^kx, det stämmer, men derivatan av a^kx är inte ka^kx (om inte a = e).

Vad skall man upphöja e till för att talet skall få värdet a?

Nu kan jag ha rört till det. e^x är som du skrivit och som jag antecknat sin egen derivata. I detta fallet är k=1, men kom på nu att det ju inte alltid är så (om a=2 blir k=0,69). Kan ha varit här bland annat som jag kom fel i tanken.

Vad jag ska höja upp e till för att få a vet jag inte riktigt. e^x=a

X lg e=lg a

detta ger x =lg e/lg a

men jag kan mycket väl vara helt fel ute också..

Naturliga logaritmer kommer i nästa avsnitt i min bok, men jag har en kompis som berättat lite om det. 

Alternativt då att man tar e-logaritmen (betecknas den ln?)

ln (e^x)=ln a

x*1=ln a

är jag fel på det?

tack för att du hjälper mig :)

Om man inte har gått igenom naturliga logaritmer än i din bok, så är det säkert meningen att du skall undersöka numeriskt vilket värde på a som ger rätt värde på kvoten.

Om a = 1 blir gränsvärdet 0

Om a = 2 blir gränsvärdet ungefär 0,7

Om a = 1,5 blir gränsvärdet ungefär 0,4

Alltså ligger a någonstans mellan 1,5 och 2. Fortsätt själv! (Man behöver bara ändra en siffra på sidan jag länkade till)

Smaragdalena skrev:

Om man inte har gått igenom naturliga logaritmer än i doin bok, så är det skert meningen att du skall undersöka numeriskt vilket värde på a som ger rätt värde på kvoten.

Om a = 1 blir gränsvärdet 0

Om a = 2 blir gränsvärdet ungefär 0,7

Om a = 1,5 blir gränsvärdet ungefär 0,4

Alltså ligger a någonstans mellan 1,5 och 2. Fortsätt själv! (Man behöver bara ändra en siffra på sidan jag länkade till)

Toppen! Då provar jag det! Tack så supermycket för hjälpen😁

Du frågade hur du ska kunna lösa uppgiften algebraiskt.

Läs detta svar för en beskrivning av det.

Yngve skrev:

Du frågade hur du ska kunna lösa uppgiften algebraiskt.

Läs detta svar för en beskrivning av det.

Tack så mycket! I ett av mina svar i tråden (vet inte hur man länkar) skrev jag och prövade mig fram genom logaritmering och fick fram samma svar som du skrev i ditt inlägg i tråden. Tror vi postade våra svar samtidigt och jag hade inte hunnit se ditt svar innan jag postade mitt😁

Tack så supermycket för hjälpen!