Bestäm tangentvektor för denna ellips i punkten (1,1,1)

Hej!

En möjlighet är att man ser dessa ytor som funktionsytorna $f(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2=4 och g(x,y,z)=x-y+2z=2$. Man kan då beräkna deras gradienter och får gradienterna i (1,1,1) till $\nabla f(1,1,1)=(4,2,2), \nabla g(1,1,1)=(1,-1,2).$På grund av den geometriska tolkningen så gäller det att tangentvektorn är normal mot båda dessa gradienter. Således blir $\nabla f(1,1,1)x\nabla g(1,1,1)=(6,-6,-6)$

en lösning (x ska motsvara vektorprodukten). Då de endast frågar efter en kan man svara (1,-1,-1) som verkar vara en snyggare lösning. 

Eagle314 skrev:

Hej!

En möjlighet är att man ser dessa ytor som funktionsytorna $f(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2=4 och g(x,y,z)=x-y+2z=2$. Man kan då beräkna deras gradienter och får gradienterna i (1,1,1) till $\nabla f(1,1,1)=(4,2,2), \nabla g(1,1,1)=(1,-1,2).$På grund av den geometriska tolkningen så gäller det att tangentvektorn är normal mot båda dessa gradienter. Således blir $\nabla f(1,1,1)x\nabla g(1,1,1)=(6,-6,-6)$

en lösning (x ska motsvara vektorprodukten). Då de endast frågar efter en kan man svara (1,-1,-1) som verkar vara en snyggare lösning. 

Förlåt men jag hängde inte med på vad du menar med "  På grund av den geometriska tolkningen så gäller det att tangentvektorn är normal mot båda dessa gradienter. "  jag tror inte jag ser den där geometriska tolkningen eller geometrin i din text. 

varför ska tangentvektor vara ortogonal mot båda dessa gradienter?  den där vektorprodukten mellan gradienterna f och g antar jag är kryssprodukten mellan f och g?

Hej!

Gradienten till ellipsoiden i (1,1,1) är ortogonal mot ellipsoiden och då specifikt också ellipsen i texten. Vidare så är gradienten i (1,1,1) till planet ortogonalt mot planet, och då även ellipsen. (Det gäller att gradienten till en yta är ortogonal mot den ytan).

Dessa två gradientvektorer är (4,2,2) och (1,-1,2). Då har man två ortogonala vektorer till ellipsen i (1,1,1). Men tangentvektorn ska vara parallell med ellipsen, och det finns endast en sådan (sånär som på konstant) och det är den som är vektorprodukten/kryssprodukten mellan de tidigare gradienterna (Kryssprodukten av två vektorer u,v är ortogonal mot både u och v).

Var kanske snabb i början men hoppas att detta förtydligar resonemanget. 

Eagle314 skrev:

Hej!

Gradienten till ellipsoiden i (1,1,1) är ortogonal mot ellipsoiden och då specifikt också ellipsen i texten. Vidare så är gradienten i (1,1,1) till planet ortogonalt mot planet, och då även ellipsen. (Det gäller att gradienten till en yta är ortogonal mot den ytan).

Dessa två gradientvektorer är (4,2,2) och (1,-1,2). Då har man två ortogonala vektorer till ellipsen i (1,1,1). Men tangentvektorn ska vara parallell med ellipsen, och det finns endast en sådan (sånär som på konstant) och det är den som är vektorprodukten/kryssprodukten mellan de tidigare gradienterna (Kryssprodukten av två vektorer u,v är ortogonal mot både u och v).

Var kanske snabb i början men hoppas att detta förtydligar resonemanget. 

Det skulle vara bra med en figur också. Men tack för hjälpen!