Bestäm vägens krökningsradie i A,bilens acceleration a_b samt beloppet av bilens acceleration i C

Du vet kanske formlerna för accelerationen i naturliga koordinater.

$\overrightarrow{a}=\frac{{\dot{s}}^2}{R}{\overrightarrow{e}}_n+ \ddot{s}{\overrightarrow{e}}_s$. R är krökningsradien (momentant).

Sedan står det att vi har konstant retardation av farten mellan A och C från v₀ till v₀/2.

Detta innebär att

$\ddot{s}=-\alpha$, där $\alpha$ är en positiv konstant - i nuläget okänd.

Vi får då att

$\dot{s}=v_0-\alpha t$.

$s=v_{0}t-\alpha \frac{t^2}{2}$.

Här har vi antagit att s = 0 och t = 0 då bilen befinner sig vid A.

Du har även fått angivet att sträckan mellan A och C längs vägen är l. Du vet även att farten skall vara v₀/2 vid C.

Ja, där har du lite hjälp på vägen. Säg till om du inte kommer vidare.

PATENTERAMERA skrev:

Du vet kanske formlerna för accelerationen i naturliga koordinater.

$\overrightarrow{a}=\frac{{\dot{s}}^2}{R}{\overrightarrow{e}}_n+ \ddot{s}{\overrightarrow{e}}_s$. R är krökningsradien (momentant).

Sedan står det att vi har konstant retardation av farten mellan A och C från v₀ till v₀/2.

Detta innebär att

$\ddot{s}=-\alpha$, där $\alpha$ är en positiv konstant - i nuläget okänd.

Vi får då att

$\dot{s}=v_0-\alpha t$.

$s=v_{0}t-\alpha \frac{t^2}{2}$.

Här har vi antagit att s = 0 och t = 0 då bilen befinner sig vid A.

Du har även fått angivet att sträckan mellan A och C längs vägen är l. Du vet även att farten skall vara v₀/2 vid C.

Ja, där har du lite hjälp på vägen. Säg till om du inte kommer vidare.

Jag tänker liksom att vi behöver först hitta rho eller radien för A om vi tar delfråga i taget.   Jag har lite svårt att hänga med i dina ekvationer och vad allt står för.  Sen har jag svårt att komma vidare i detta problem..

I formelsamlingen jag har är dessa ekvationer

jag försökte lösa på det här sättet men får inte rätt uttryck för rho_A enligt facit och vi vet inte farten i punkten A heller. Misstänker att man ska uttrycka okända farten med längden 

Vid A så gäller.

$a^2=\frac{v_0^4}{{\rho }_A^2}+{\alpha }^2$. Du kan lösa ut radien.

Men du behöver också lista ut ett uttryck för $\alpha$ i termer av v₀ och l. Se vad jag skrev i #2.

PATENTERAMERA skrev:

Vid A så gäller.

$a^2=\frac{v_0^4}{{\rho }_A^2}+{\alpha }^2$. Du kan lösa ut radien.

Men du behöver också lista ut ett uttryck för $\alpha$ i termer av v₀ och l. Se vad jag skrev i #2.

Fast nu hänger jag inte med på ditt uttryck här.  jag såg vad du skrev men det makear inte sense för mig  som sagt och vet inte vad allt betyder i förhållande till uppgiften. Jag försökte också lösa uppgiften i inlägget ovanför. Vad är problemet med min lösning ?

Läs #2 igen.

PATENTERAMERA skrev:

Du vet kanske formlerna för accelerationen i naturliga koordinater.

$\overrightarrow{a}=\frac{{\dot{s}}^2}{R}{\overrightarrow{e}}_n+ \ddot{s}{\overrightarrow{e}}_s$. R är krökningsradien (momentant).

Sedan står det att vi har konstant retardation av farten mellan A och C från v₀ till v₀/2.

Detta innebär att

$\ddot{s}=-\alpha$, där $\alpha$ är en positiv konstant - i nuläget okänd.

Vi får då att

$\dot{s}=v_0-\alpha t$.

$s=v_{0}t-\alpha \frac{t^2}{2}$.

Här har vi antagit att s = 0 och t = 0 då bilen befinner sig vid A.

Du har även fått angivet att sträckan mellan A och C längs vägen är l. Du vet även att farten skall vara v₀/2 vid C.

Ja, där har du lite hjälp på vägen. Säg till om du inte kommer vidare.

Jag förstår inte riktigt. 

1) du skrev att a=s*^2*e_n/R^2+s**e_s. Jag har a=v*e_t+v^2e_n/Rho. Är det samma? 

2) om texten säger att farten minskar med konstant retardation från v0 i A till v0/2 i C.  Betyder det inte att vi har en tangentialacceleration som är v0 i A och -v0/2 i C?  tangentialaccerationen beror på fartändringen. Eller vad innebär det just konstant retardation i det sammanhanget?

3)s**=-alfa skrev du, varför skriver du så och vad är kopplingen till redardation från v0 i A till v0/2 i C?

4) de här två ekvationerna  nedan förstår jag inte var du får dem ifrån och vad de innebär

5) vad är felet med min lösning i #3? 

Ja, jag använder e_s istället för e_t eftersom det annars blir förvirrande om man vill använda t som tid.

v = $\dot{s}$

$\dot{v}=\ddot{s}$.

Nja, farten minskar från v₀ till v₀/2. Konstant retardation.

Eftersom farten minskar med konstant retardation så gäller det att

$v=v_0-\alpha t$.

Här är $\alpha$ den konstanta retardationen - än så länge obekant. Jag väljer t = 0 då bilen befinner sig vid A.

Sträckan s som man åkt vid tiden t fås genom integration av farten.

$s = v_{0}t-\alpha \frac{t^2}{2}$.

Där jag valt s = 0 då bilen befinner sig vid A.

Jag förstår inte din lösning. Och du verkar ha enhetsfel. I nämnaren subtraherar du en acceleration (i kvadrat) med en hastighet (i kvadrat). Det blir nonsens. Du borde genast insett att något blivit fel.

Det gäller generellt att

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n+\dot{v}{\overrightarrow{e}}_s$ = $\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_s$

Speciellt vid A så gäller det att

${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=a^2=\frac{v_0^4}{{\rho }_A^2}+{\alpha }^2$. Från detta kan man lösa ut ${\rho }_A$.

Men man måste dessutom räkna ut $\alpha$ i termer av sådana variabler som getts i problemet. Gör det.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, jag använder e_s istället för e_t eftersom det annars blir förvirrande om man vill använda t som tid.

v = $\dot{s}$

$\dot{v}=\ddot{s}$.

Nja, farten minskar från v₀ till v₀/2. Konstant retardation.

Eftersom farten minskar med konstant retardation så gäller det att

$v=v_0-\alpha t$.

Här är $\alpha$ den konstanta retardationen - än så länge obekant. Jag väljer t = 0 då bilen befinner sig vid A.

Sträckan s som man åkt vid tiden t fås genom integration av farten.

$s = v_{0}t-\alpha \frac{t^2}{2}$.

Där jag valt s = 0 då bilen befinner sig vid A.

Jag förstår inte din lösning. Och du verkar ha enhetsfel. I nämnaren subtraherar du en acceleration (i kvadrat) med en hastighet (i kvadrat). Det blir nonsens. Du borde genast insett att något blivit fel.

Det gäller generellt att

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n+\dot{v}{\overrightarrow{e}}_s$ = $\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_s$

Speciellt vid A så gäller det att

${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=a^2=\frac{v_0^4}{{\rho }_A^2}+{\alpha }^2$. Från detta kan man lösa ut ${\rho }_A$.

Men man måste dessutom räkna ut $\alpha$ i termer av sådana variabler som getts i problemet. Gör det.

Jag har som sagt svårt att komma vidare då jag inte förstår vad alfa innebär  samt ekvationen här och hur du får fram dessa och vad de är för något. 

Jag förstår inte vad dessa nedan säger

v=s*

v*=s**

Men jag skrev ju vad det var. Läs problemtexten där står det att farten minskar med konstant retardation från v₀ (i A) till v₀/2 (i C). Jag kallar denna konstanta retardation för alfa. Sedan kan man med lite eftertanke räkna ut vad alfa blir uttryckt i v₀ och l.

Tillägg: 2 mar 2025 23:47

v är farten. v-prick är tidsderivatan av farten.

"Nja, farten minskar från v₀ till v₀/2. Konstant retardation."

Okej så det minskar med något värde som är lika med -K=v0/2-v0?  Det här med minskningen av farten är alltså att tangentaaccelerationen är -K? 

"Jag förstår inte din lösning. Och du verkar ha enhetsfel. I nämnaren subtraherar du en acceleration (i kvadrat) med en hastighet (i kvadrat). Det blir nonsens. Du borde genast insett att något blivit fel."

Jag använder pythagoras sats a^2=a_t^2+a_n^2 där jag känner till a_t i form av fartändringen v0 till v0/2 och då kan vi hitta a_n. Vi vet också ett uttryck för a_n =v^2/rho

PATENTERAMERA skrev:

Men jag skrev ju vad det var. Läs problemtexten där står det att farten minskar med konstant retardation från v₀ (i A) till v₀/2 (i C). Jag kallar denna konstanta retardation för alfa. Sedan kan man med lite eftertanke räkna ut vad alfa blir uttryckt i v₀ och l.

---

Tillägg: 2 mar 2025 23:47

v är farten. v-prick är tidsderivatan av farten.

Så om jag förstår texten rätt så är den konstanta retardation en negativ acceleration med okänd variabel?

Retardationen är (v₀ - v₀/2)/t_c, där t_c är tiden det tar att åka från A till C.

PATENTERAMERA skrev:

Retardationen är (v₀ - v₀/2)/t_c, där t_c är tiden det tar att åka från A till C.

Det låter som en negativ acceleration då isåfall. Jag glömde att ta med tiden. 

Jag tänker mig retardationen som ett positiv tal (ju större retardation, desto kraftigare inbromsning) då gäller det att

a_t = -alfa. Och v = -alfa x t + konstant.

Om du väljer att se retardationen som ett negativt tal så gäller det att

a_t = alfa. Och v = alfa x t + konstant.

Det är en smaksak hur du väljer, men var konsekvent.

PATENTERAMERA skrev:

Jag tänker mig retardationen som ett positiv tal (ju större retardation, desto kraftigare inbromsning) då gäller det att

a_t = -alfa. Och v = -alfa x t + konstant.

Om du väljer att se retardationen som ett negativt tal så gäller det att

a_t = alfa. Och v = alfa x t + konstant.

Det är en smaksak hur du väljer, men var konsekvent.

Okej jag förstår. Nu vet vi vad a_t är i alla fall samt beloppet av a. Vi vet också a=v^2/rho+alfa då alfa =v*. Vi behöver hitta alfa och v

När t=0 vid A så har vi v=v_0 och då s=0 alfa=2v0/t. Men sen har vi också alfa=v_0-v/t_c där t_c är den tiden som man åker från A till C. Nu vill vi göra oss av med t_c

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_t$. Detta är en vektor.

Vad blir ${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$?

Vi vet att

$\dot{v}=a_t=-\alpha$ (en konstant).

Integrera detta map t (tiden). Antag att t = 0 då bilen är vid A.

$v =-\alpha t+konst.$ Eftersom v = v₀ vid A (t = 0) så får vi att

$v=v_0- \alpha t$.

Vi kan integrera detta en gång till för att få sträckan s som bilen färdats vid tiden t. Vi väljer s = 0 vid A.

$s=v_{0}t - \alpha \frac{t^2}{2}+konst.$ Konstanten är noll eftersom vi har valt s = 0 då t = 0.

Kalla det tidpunkt då bilen når C för t_C.

Vi har då

$v_C = \frac{v_0}{2}=v_0- \alpha t_C$

$s_{C }= l = v_0{t}_C - \alpha \frac{{\left(t_C\right)}^2}{2}$.

Du kan nu räkna ut alfa i termer av v₀ och l.

PATENTERAMERA skrev:

$\overrightarrow{a}=\frac{v^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_t$. Detta är en vektor.

Vad blir ${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$?

Vi vet att

$\dot{v}=a_t=-\alpha$ (en konstant).

Integrera detta map t (tiden). Antag att t = 0 då bilen är vid A.

$v =-\alpha t+konst.$ Eftersom v = v₀ vid A (t = 0) så får vi att

$v=v_0- \alpha t$.

Vi kan integrera detta en gång till för att få sträckan s som bilen färdats vid tiden t. Vi väljer s = 0 vid A.

$s=v_{0}t - \alpha \frac{t^2}{2}+konst.$ Konstanten är noll eftersom vi har valt s = 0 då t = 0.

Kalla det tidpunkt då bilen når C för t_C.

Vi har då

$v_C = \frac{v_0}{2}=v_0- \alpha t_C$

$s_{C }= l = v_0{t}_C - \alpha \frac{{\left(t_C\right)}^2}{2}$.

Du kan nu räkna ut alfa i termer av v₀ och l.

Var kommer v0/2 ifrån? Menar du att jag ska använda båda ekvationer för att hitta uttryck för alfa?

Det står i texten att farten vid C (v_C) är v₀/2.

Ja, använd båda ekvationerna. Lös tex ut alfa i termer av v₀ och t_C från den första stoppa in i andra ekvationen och lös ut t_C. Beräkna slutligt värde på alfa.

PATENTERAMERA skrev:

Det står i texten att farten vid C (v_C) är v₀/2.

Ja, använd båda ekvationerna. Lös tex ut alfa i termer av v₀ och t_C från den första stoppa in i andra ekvationen och lös ut t_C. Beräkna slutligt värde på alfa.

Ja juste. Hur hittar man a_B samt a_c?

PATENTERAMERA skrev:

Det står i texten att farten vid C (v_C) är v₀/2.

Ja, använd båda ekvationerna. Lös tex ut alfa i termer av v₀ och t_C från den första stoppa in i andra ekvationen och lös ut t_C. Beräkna slutligt värde på alfa.

Varför har vi v=-alfa*t+konstant i början?  Ska det inte vara v_0/2 vid s_c=v0tc/2-alfatc^2/2?

v = -alfa x t + konstant gäller generellt om vi integrerar $\dot{v}=-\alpha$. Notera att v-prick står för dv/dt.

Sedan gör vi det naturliga valet att sätta tiden lika med 0 då bilen passerar A. Du kan tänka dig att du har ett tidtagarur och startar detta då bilen passerar A. Med detta val så ser vi att konstanten blir v₀ eftersom det är den fart som bilen har vid A, dvs vid t = 0.

Klart?

PATENTERAMERA skrev:

v = -alfa x t + konstant gäller generellt om vi integrerar $\dot{v}=-\alpha$. Notera att v-prick står för dv/dt.

Sedan gör vi det naturliga valet att sätta tiden lika med 0 då bilen passerar A. Du kan tänka dig att du har ett tidtagarur och startar detta då bilen passerar A. Med detta val så ser vi att konstanten blir v₀ eftersom det är den fart som bilen har vid A, dvs vid t = 0.

Klart?

Aa jag förstår att v=v0 vid A då t=0. Såhär ser min lösning ut. Jag får dock inte rätt med K. Den blir 0

Tillägg: 3 mar 2025 13:32

Edit: jag fick nu rätt på krökningsradie 

Jag undrar dock varför man måste skriva det som a^2 istället för a=v0^2/rho-k^2? Du skrev tidigare |a|^2 vilket jag inte aldrig hann fråga varför du gör det. 

Beloppet av accelerationen, dvs $\left|\overrightarrow{a}\right|$, är enligt texten lika med a (a är en skalär) då bilen befinner sig vid A.

Vid A ges accelerationen av

$\overrightarrow{a}=\frac{v_0^2}{{\rho }_A} {\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_s$.

 Vad blir då $\left|\overrightarrow{a}\right|$?

PATENTERAMERA skrev:

Beloppet av accelerationen, dvs $\left|\overrightarrow{a}\right|$, är enligt texten lika med a (a är en skalär) då bilen befinner sig vid A.

Vid A ges accelerationen av

$\overrightarrow{a}=\frac{v_0^2}{{\rho }_A} {\overrightarrow{e}}_n- \alpha {\overrightarrow{e}}_s$.

 Vad blir då $\left|\overrightarrow{a}\right|$?

Ja asså |a|= sqrt(a^2) ?