9 svar
94 visningar
Maremare är nöjd med hjälpen!
Maremare 367
Postad: 30 nov 2019

bestäm vektor med annan bas (linjär algebra och basbyten)

har letat några timmar på internet och i kurslitteratur men hittar ingen tydligt beskrivning om hur man byter bas och hittar baser etc

har denna uppgift:

Bestäm koordinatvektorn  [v¯]B för vektorn v ¯=1-2 då B=11,23?

Lösning:

Jag ställde upp en matris av B och löste ekvationen: B[v¯]B=v¯ (eller ska jag lösa Bv¯=[v¯]B ?)

11113-2~ RREF~  52-32=[v¯]B

Löser jag den andra ekvationen så blir det bara matrismultiplikation så får då:

12131-2=-3-5

men det finns inget facit så jag har inte den blekaste aning om det är rätt eller helt ute och cyklar?

någon som kan hjälpa mig se över om det är rätt?

Vad betyder dina beteckningar? Är det v¯B eller v¯ som hör hemma i det ortonormerade koordinatsystemet? Min käre make och jag tolkade det på olika sätt.

Maremare 367
Postad: 30 nov 2019
Smaragdalena skrev:

Vad betyder dina beteckningar? Är det v¯B eller v¯ som hör hemma i det ortonormerade koordinatsystemet? Min käre make och jag tolkade det på olika sätt.

jaha okej okej, jag har dessvärre ingen aning faktiskt, såhär ser uppgiften ut. Kanske det svarade på frågan?

det är fråga b) som jag funderar på

Så som jag tolkar det är det den första metoden som är den korrekta - men det skall väl vara en 2:a i mitten av övre raden, inte en 1:a?

Jag läser det grafiskt och undersöker hur många förflyttningar i riktningen (1,1) respektive (2,3) det behövs för att komma från origo till punkten (1,-2). Jag börjar i origo och ritar en linje med riktningskoefficienten 1. Jag börjar i punkten (1,-2) och ritar en linje med lutning 3/2. De båda linjerna skär varandra i punkten (7,7). Då har jag gått 7 steg i riktning (1,1) och behöver gå -3 steg i riktning (2,3) för att komma från origo till den önskade punkten.

Den andra metoden motsvar att ta reda på var man hamnar om man tar 1 steg i riktning (1,1) och -2 steg i riktning (2,3). Då hamnar man i punkten (-3,-5).

PATENTERAMERA 707
Postad: 30 nov 2019 Redigerad: 1 dec 2019

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

Maremare 367
Postad: 1 dec 2019
PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

B[v¯]B=v ?

PATENTERAMERA 707
Postad: 1 dec 2019 Redigerad: 1 dec 2019
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

B[v¯]B=v ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för n och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

Maremare 367
Postad: 3 dec 2019
PATENTERAMERA skrev:
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

B[v¯]B=v ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för n och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

PATENTERAMERA 707
Postad: 3 dec 2019
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

B[v¯]B=v ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för n och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

Korrekt.

Maremare 367
Postad: 3 dec 2019
PATENTERAMERA skrev:
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Maremare skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Om vi har två baser A = {a1a2} och B = {b1b2} för ett vektorrum V så har vi en koordinattransformation enligt

vB = TB/AvA

Där TB/A är en transformationsmatris vars kolumner ges av 

Coli(TB/A) = aiB, i = 1, 2.

På samma sätt har vi en omvänd koordinattransformation

vA = TA/BvB

Där TA/B är en transformationsmatris vars kolumner på motsvarande sätt ges av

Coli(TA/B) = biA, i = 1, 2.

Det är lätt att inse att TB/A och TA/B är varandras inverser, dvs TB/A =  TA/B-1.

Detta kan naturligtvis generaliseras till n-dimensionella vektorrum.

Om vi nu som specialfall låter V vara 2 och A vara standardbasen för 2. Notera att det medför något lite märkligt

vA = v för varje vektor v i 2.

Så att TA/B = b1Ab2A = b1b2.

Vi kan därför skriva koordinattransformationen som

vB = b1b2-1v.

Så din första ansats är rätt.

så om man har en bas B och en vektor v och vill veta vad den vektorn v blir i bas B så löser man ekvationen:

B[v¯]B=v ?

Ja, om du med B menar en matris vars kolumner är basvektorerna i basen B - men som sagt detta är ett specialfall som gäller för n och då den andra basen är standardbasen, i ett mer allmänt fall måste du känna till de generella formlerna (konstigt att de inte fanns med i lärobok).

yes okej

och om man hade matrisen B och vektorn i basen b och ville få reda på v så utför man bara muliplikation av B och vektorn i basen b?

Korrekt.

okej tusen tack!

Svara Avbryt
Close