Bestäm viktens hastighet som funktion av sträckan x, l samt x(t) (Fysik/Universitet)

Finns flera sätt.

Sätt upp Newtons andra.

$m \frac{d v}{d t} = - k v$ . Den är separabel.

$\frac{d v}{v} = - \frac{k}{m} d t$ .

Säg till om du behöver mera hjälp.

PATENTERAMERA skrev:
Finns flera sätt.

Sätt upp Newtons andra.

$m \frac{d v}{d t} = - k v$ . Den är separabel.

$\frac{d v}{v} = - \frac{k}{m} d t$ .

Säg till om du behöver mera hjälp.

1)Sorry, men hur vet man att man ska ställa upp newtons andra lag och sätta sen HL lika med -kv?

2) i uppgifts lydelsen verkar det som att vi har en till kraft eller kanske flera. Varför är mg inte med?

1) ma = F. a = dv/dt. F = -kv (enligt problemtexten).

Vad är oklart där?

2) Det är nog tänkt att rörelsen är horisontell.

PATENTERAMERA skrev:
1) ma = F. a = dv/dt. F = -kv (enligt problemtexten).

Vad är oklart där?

2) Det är nog tänkt att rörelsen är horisontell.

1) Ok. Så vi har bara rörelse i x-led och den resulterande kraft är då lika med vätskemotståndskraften?

2) Ja juste. Mg är ju i y-led.

3) men är det vikten som får en hastighet pga kolven i cylindern eller är hela systemet med tanke på F=-kv? Jag antar det är därför vi ställer upp ma=-kv för vikten har ju bara en begynnelsehastighet i O.

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:
Finns flera sätt.

Sätt upp Newtons andra.

$m \frac{d v}{d t} = - k v$ . Den är separabel.

$\frac{d v}{v} = - \frac{k}{m} d t$ .

Säg till om du behöver mera hjälp.

Ska man integrera båda led map på dv och dt? Det blir ln(v)=-k/m*t+C=> v=Ae^-k/m*t

Ja. Och sedan kan man bestämma A med begynnelsevärdet. v = v₀ då t = 0.

Sedan kan man integrera en gång till för att få x(t).

Vanligtvis efterfrågas $v(t)$ men i den andra delen av den här uppgiften vill man ha $v(x)$ .

För att nå $v(x)$ kan man använda ett trick där man skriver om derivatan $a=\frac{dv}{dt}$ på ett listigt vis och sätter in i Newton II och lösa på samma sätt som i den första delen ovan.

PATENTERAMERA skrev:
Ja. Och sedan kan man bestämma A med begynnelsevärdet. v = v₀ då t = 0.

Sedan kan man integrera en gång till för att få x(t).

Ja precis. A blir då lika med v₀ så vi får v(t)=v0e^-k/m*t ,men hastigheten är som funktion av t och ej x? Vi borde ha skrivit om dv/dt=dv/dx*dx/dt och sen fått -kv=dv/dx*v=>-kdx=dv=> v(x)=-kx+C. Vid x=0 så är C=v0 vilket ger v(x)=-kx+v0

D4NIEL skrev:
Vanligtvis efterfrågas $v(t)$ men i den andra delen av den här uppgiften vill man ha $v(x)$ .

För att nå $v(x)$ kan man använda ett trick där man skriver om derivatan $a=\frac{dv}{dt}$ på ett listigt vis och sätter in i Newton II och lösa på samma sätt som i den första delen ovan.

Jag förstår inte riktigt. Så uppgiften vill att man först tar fram v(t) för att därifrån lösa för v(x)? Jag tolkar som att uppgiften är ute efter v(x), sträckan l samt x(t).

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja. Och sedan kan man bestämma A med begynnelsevärdet. v = v₀ då t = 0.

Sedan kan man integrera en gång till för att få x(t).z

Ja precis. A blir då lika med v₀ så vi får v(t)=v0e^-k/m*t ,men hastigheten är som funktion av t och ej x? Vi borde ha skrivit om dv/dt=dv/dx*dx/dt och sen fått -kv=dv/dx*v=>-kdx=dv=> v(x)=-kx+C. Vid x=0 så är C=v0 vilket ger v(x)=-kx+v0

Ja det är ett sätt.

Men om vi integrerar v(t) så får vi

x = $- \frac{v_{0} m}{k} e^{- \frac{k t}{m}} + c$ , x = 0 då t = 0 ger att c = v₀m/k.

$x = \frac{v_{0} m}{k} (1 - e^{- \frac{k t}{m}})$ . Från denna ekvation kan vi lösa ut e^-kt/m.

e^-kt/m = 1 - kx/(v₀m).

Vi kan sätta detta i formeln för v.

v = v₀(1-kx/(mv₀)) = v₀ - kx/m.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja. Och sedan kan man bestämma A med begynnelsevärdet. v = v₀ då t = 0.

Sedan kan man integrera en gång till för att få x(t).z

Ja precis. A blir då lika med v₀ så vi får v(t)=v0e^-k/m*t ,men hastigheten är som funktion av t och ej x? Vi borde ha skrivit om dv/dt=dv/dx*dx/dt och sen fått -kv=dv/dx*v=>-kdx=dv=> v(x)=-kx+C. Vid x=0 så är C=v0 vilket ger v(x)=-kx+v0

Ja det är ett sätt.

Men om vi integrerar v(t) så får vi

x = $- \frac{v_{0} m}{k} e^{- \frac{k t}{m}} + c$ , x = 0 då t = 0 ger att c = v₀m/k.

$x = \frac{v_{0} m}{k} (1 - e^{- \frac{k t}{m}})$ . Från denna ekvation kan vi lösa ut e^-kt/m.

e^-kt/m = 1 - kx/(v₀m).

Vi kan sätta detta i formeln för v.

v = v₀(1-kx/(mv₀)) = v₀ - kx/m.

Ja eller så hittar man x(t) mha man vet v=dx/dt=v0-k/m*x. Då får man samma svar enligt AI. Hur hittar vi glidsträckan? Kan man integrera från v=v0 till v=0 på VL och x=0 till x=l där vi har dv=-k/m dx?

Du kan titta på vad som händer med x då t går mot $\infty$ .

Alternativt hittar du det x då v blir noll.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan titta på vad som händer med x då t går mot $\infty$ .

Alternativt hittar du det x då v blir noll.

hm jag förstår inte varför man ska titta på vad x blir när t går mot inf? ett alternativ som AI föreslog och som jag inte vet om det är tillåtet att lösa uppgiften på är att integrera båda led som jag var inne på dvs när x=0 vid begynnelse och sen när cylindern har rört sig innan den stannar så har det gått x=l dvs x=0 till x=l och sen för v=v0 (start) och v=0 (slut). Högerledet har integranden -k/m dx och vänsterledet har integranden dv

Jag pratade med min lärare idag och han sa att det hade gått säkert att lösa denna uppgift med den metoden jag valde och hade kunnat ge rätt svar också. Skulle ni kunna förklara varför det blir fel med LKE samt mekaniska energilagen? Hur kan jag korrigera detta? Facit lösningsförslag är inte den enda rätta sätt enligt läraren.

Tyngdkraften verkar ju i y-riktningen och rörelsen sker i x-riktningen. Således utför tyngdkraften inget arbete här.

U = $- k \int_{0}^{x} v d x = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . En integralekvation för v.

Derivera båda led map x.

$- k v = \frac{1}{2} m 2 v \frac{d v}{d x}$

$\frac{d v}{d x} = - \frac{k}{m}$ , $v = - \frac{k}{m} x + c$ , begynnelsevillkor ger c = v₀.

$v = - \frac{k}{m} x + v_{0}$ . v blir noll då x = mv₀/k.

PATENTERAMERA skrev:
Tyngdkraften verkar ju i y-riktningen och rörelsen sker i x-riktningen. Således utför tyngdkraften inget arbete här.

U = $- k \int_{0}^{x} v d x = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . En integralekvation för v.

Derivera båda led map x.

$- k v = \frac{1}{2} m 2 v \frac{d v}{d x}$

$\frac{d v}{d x} = - \frac{k}{m}$ , $v = - \frac{k}{m} x + c$ , begynnelsevillkor ger c = v₀.

$v = - \frac{k}{m} x + v_{0}$ . v blir noll då x = mv₀/k.

Jag hänger inte med på vad du gör här. Kan du förtydliga vad du gör steg för steg så jag förstår? Jag är helt lost på vad du ställer upp först och vad som händer på vägen fram till slutsvaret. Sen förstår jag inte ditt slutsvar.

Arbetet U = $- k \int_{0}^{x} v d x$ .

Ändringen i kinetisk energi är T_x - T₀ = (1/2)m( $v^{2} - v_{0}^{2}$ ).

U = T_x - T₀ ger att

$- k \int_{0}^{x} v d x = \frac{1}{2} m (v^{2} - v_{0}^{2})$ .

Det är en integralekvation för den obekanta v.

Är du med så långt?

PATENTERAMERA skrev:
Arbetet U = $- k \int_{0}^{x} v d x$ .

Ändringen i kinetisk energi är T_x - T₀ = (1/2)m( $v^{2} - v_{0}^{2}$ ).

U = T_x - T₀ ger att

$- k \int_{0}^{x} v d x = \frac{1}{2} m (v^{2} - v_{0}^{2})$ .

Det är en integralekvation för den obekanta v.

Är du med så långt?

1) Varför integrerar vi kraften F=-kv och kallar detta för ett arbete?

2) Jag förstår inte varför T_x=1/2mv^2 när cylindern stannar och hastigheten upphör?

3) jag är med på att du ställer upp såhär , men tycker du borde integrera VL map dx som det står ?

1) Vad är definitionen av arbete?

2) T_x är den kinetiska energin då x = x. T_x = (1/2)mv(x)² om man vill vara extra tydlig.

3) Vad menar du med att integrera som det står?

PATENTERAMERA skrev:
1) Vad är definitionen av arbete?

2) T_x är den kinetiska energin då x = x. T_x = (1/2)mv(x)² om man vill vara extra tydlig.

3) Vad menar du med att integrera som det står?

1) Definitionen av arbete U_0=>1=integral F*dr (vet ej om det ska vara minustecken framför F*dr) där F=-kv och dr är väl dx?

2) Men jag förstår inte om du menar kinetiska energi då cylindern rör sig från start till slut? Cylindern har väl 0 hastighet när den stannar så den x borde bli 0 eller?

3) du skrev ju U=-kvdx med gränser fråk 0 till x, då ska du väl integrera map på dx. Det är vad jag menar. Sen stör jag mig på varför vi integrerar till x?

1) Ja. Vi integrerar från start (x = 0) till en godtycklig position (x = x). Obs x är här en generell position, inte där den stannar.

2) Från början (x = 0) så är T₀ = (1/2)mv₀². Vid x = x så är T_x = (1/2)mv(x)².

3) Om man vill vara noga så kan man skriva $- k \int_{0}^{x} v (x') d x'$ , men man är ofta lite slarvig/lat i detta fall.

PATENTERAMERA skrev:
1) Ja. Vi integrerar från start (x = 0) till en godtycklig position (x = x). Obs x är här en generell position, inte där den stannar.

2) Från början (x = 0) så är T₀ = (1/2)mv₀². Vid x = x så är T_x = (1/2)mv(x)².

3) Om man vill vara noga så kan man skriva $- k \int_{0}^{x} v (x') d x'$ , men man är ofta lite slarvig/lat i detta fall.

1. Ok jag förstår.

2. Ok så det är godtycklig x position som får en kinetisk energi T_x=mv(x)^2/2? Hm hur kommer det sig att du skriver hastighet som funktion av x när det borde istället mv^2/2 vid den positionen?

3. Jag tror inte jag fattar helt ärligt varför du skriver v(x) och ej -kvx efter att du har integrerat arbetet. Jag hade förstått om vi hade något som -kvx=1/2m(v^2)-1/2mv₀^2/2

2) v är ju inte konstant utan beror av x. Vi skriver därför v(x) för att explicit indikera beroendet av läget.

3) Se 2). Eftersom v inte är en konstant så blir inte integralen -kvx.

PATENTERAMERA skrev:
2) v är ju inte konstant utan beror av x. Vi skriver därför v(x) för att explicit indikera beroendet av läget.

3) Se 2). Eftersom v inte är en konstant så blir inte integralen -kvx.

2) hur vet man att v inte är konstant utan beror av x så som man ställt upp? Ibörjan så är v₀=0 men är det så att man vet från början att v beror av x dvs läget? Jag trodde att v och x var oberoende.

2) Ok den blir -kv(x)?

1) Vi vet ju att vätskemotståndet bromsar kolven. Så farten minskar.

2) Arbetet blir integralen $- k \int_{0}^{x} v (x') d x'$ . Eftersom vi inte vet funktionen v(x) - det är ju den vi skall räkna ut - så kan vi inte räkna ut integralen direkt.

Vi vet bara att

$- k \int_{0}^{x} v (x') d x' = \frac{1}{2} m (v {(x)}^{2} - v_{0}^{2})$ .

Ett trick är nu att derivera båda led map x.

PATENTERAMERA skrev:
1) Vi vet ju att vätskemotståndet bromsar kolven. Så farten minskar.

2) Arbetet blir integralen $- k \int_{0}^{x} v (x') d x'$ . Eftersom vi inte vet funktionen v(x) - det är ju den vi skall räkna ut - så kan vi inte räkna ut integralen direkt.

Vi vet bara att

$- k \int_{0}^{x} v (x') d x' = \frac{1}{2} m (v {(x)}^{2} - v_{0}^{2})$ .

Ett trick är nu att derivera båda led map x.

1)Så när kolven rör sig framåt så bromsar vätskemotståndet kolvens rörelse,alltså beror v av x ?

2) hm hur ska man derivera en integral på VL? Du har ju inte integrerat den ännu.

1) Korrekt.

2) Använd integralkalkylens huvudsats.

PATENTERAMERA skrev:
1) Korrekt.

2) Använd integralkalkylens huvudsats.

Ok så vänsterledet blir bara -kv(x) ?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:
Ja.

Så vi har deriverat båda led nu och har fått -kv(x)=mv'(x)-v₀

$v_0$ är en konstant, vad händer med konstanter när man deriverar? Vidare har det hänt något konstigt med din derivata av v(x). När du deriverar utrycket

$\frac{mv^2\left(x\right)}{2}$ borde du få $2\cdot\frac{ mv\left(x\right)}{2} \cdot v^\prime\left(x\right)$ eller hur?

Alltså borde du ha kvar

$-kv\left(x\right)=mv\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)$

D4NIEL skrev:
$v_0$ är en konstant, vad händer med konstanter när man deriverar? Vidare har det hänt något konstigt med din derivata av v(x). När du deriverar utrycket

$\frac{mv^2\left(x\right)}{2}$ borde du få $2\cdot\frac{ mv\left(x\right)}{2} \cdot v^\prime\left(x\right)$ eller hur?

Alltså borde du ha kvar

$-kv\left(x\right)=mv\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)$

Juste v₀ blir 0 när man deriverat den map på x. Den andra termen blir ju kedjeregeln (slarvat mig här innan ) och ja det stämmer mycket riktigt att vi får -kv(x)=mv(x)*v'(x)

PATENTERAMERA skrev:
Tyngdkraften verkar ju i y-riktningen och rörelsen sker i x-riktningen. Således utför tyngdkraften inget arbete här.

U = $- k \int_{0}^{x} v d x = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ . En integralekvation för v.

Derivera båda led map x.

$- k v = \frac{1}{2} m 2 v \frac{d v}{d x}$

$\frac{d v}{d x} = - \frac{k}{m}$ , $v = - \frac{k}{m} x + c$ , begynnelsevillkor ger c = v₀.

$v = - \frac{k}{m} x + v_{0}$ . v blir noll då x = mv₀/k.

Hur kan man ta reda på vad x blir efter att man skapat v(x)=-k/m*x+v₀?

Kolven stannar då v(x) = 0.

PATENTERAMERA skrev:
Kolven stannar då v(x) = 0.

Så man söker sträckan från x=0(start) till x=l(slut) och vi vet att hastigheten ibörjan då cylindern är stilla är v₀ och när den stannar så är den hastigheten 0? Känns som att man borde ställa upp en integral på båda led för att räkna ut sträckan.

?

Du har räknat ut v(x). Lös ekvationen v(x) = 0.

PATENTERAMERA skrev:
Du har räknat ut v(x). Lös ekvationen v(x) = 0.

Sure. Men jag ser fortfarande inte varför det är v(x)=0 man ska lösa utifrån formuleringen i frågan för de säger ju att " cylindern kommer glida med sträcka l innan den stannar". Betyder det att cylindern har sträcka l när den har stannat? Jag förstår att den har en sträcka l under rörelsen.

Den stannar när v(x) = 0. Så det x-värde som ger v(x) = 0 är l.

Notera att du får en bättre bild av vad som händer om du ser rörelsen som en funktion av tiden. Kolven kommer inte att stanna helt, utan dess fart går endast asymptotiskt mot noll. Kolven kommer inte glida hela sträckan l utan endast närma sig denna sträcka asymptotiskt, dvs då t går mot oändlighet.

PATENTERAMERA skrev:
Den stannar när v(x) = 0. Så det x-värde som ger v(x) = 0 är l.

Notera att du får en bättre bild av vad som händer om du ser rörelsen som en funktion av tiden. Kolven kommer inte att stanna helt, utan dess fart går endast asymptotiskt mot noll. Kolven kommer inte glida hela sträckan l utan endast närma sig denna sträcka asymptotiskt, dvs då t går mot oändlighet.

Ja ok.

Jag förstår att rörelsen är som funktion av tiden. Hur vet man att v går asymptotiskt mot 0 , t närmar sig inf och kolven närmar sig sträckan l ? Är det bara att prova sig fram eller?

Titta på lösningarna. v(t) och x(t).

PATENTERAMERA skrev:
Titta på lösningarna. v(t) och x(t).

Vilka då? På det här andra sättet så fick vi fram v(x)

Du har det någonstans tidigare i tråden, tex #12.

PATENTERAMERA skrev:
Du har det någonstans tidigare i tråden, tex #12.

Ja okej x(t) och sen kan man derivera för att få v(t) därifrån , men det står inga lösningar eller vad menar du deras lösningar?

Du har ju tagit fram vad v(t) och x(t) blir. Analysera vad dessa uttryck säger.

PATENTERAMERA skrev:
Du har ju tagit fram vad v(t) och x(t) blir. Analysera vad dessa uttryck säger.

v(t) anger ju hastigheten vid tiden t och x(t) är ju sträckan som kolven rör sig vid tiden t.

Ja, men du måste tolka vad formlerna säger.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, men du måste tolka vad formlerna säger.

Hur ska man tolka dem?

Skriv upp dom och tänk igenom vad de säger.

PATENTERAMERA skrev:
Skriv upp dom och tänk igenom vad de säger.

Jag skrev ju upp i #48 om vad de formlerna säger. Så jag förstår inte hur du tänker dig att man ska tolka dem.

Ser inte att du skrev det.

PATENTERAMERA skrev:
Ser inte att du skrev det.

Jag postar hur AI har tolkar dessa två formler x(t) resp v(t). Nu vet jag inte vad asymptotiskt betyder

Ja, precis. Förstår du vad den säger?

PATENTERAMERA skrev:
Ja, precis. Förstår du vad den säger?

1)Ja jag förstår att v(t) går mot 0 då t=>oo , men ej varför man ska titta på k och m eller varför AI ens analyserar dem. Man fattar ju att det är exponentiellt avtagande funktion

2)När det gäller läget så förstår jag att vi närmar oss mv0/k , men vet ej vad asymptotiskt betyder. 3)När de säger att massan glider längre och längre antar jag att de menar att kolven/cylindern typ rör sig längre ifrån sin nuvarande position men aldrig får en stoppsträcka på någon fast tid utan den bara närmar sig någon sträcka.

4) vad menade du med lösningarna till v(t) och x(t)?

1) Parametrarna styr hur snabbt farten avtar.

2) Asymptotiskt betyder att vi närmar oss mer och mer men kommer aldrig riktigt fram.

3) Precis.

4) Jag menar de uttryck som AI:n skrev upp för v(t) och x(t).

PATENTERAMERA skrev:
1) Parametrarna styr hur snabbt farten avtar.

2) Asymptotiskt betyder att vi närmar oss mer och mer men kommer aldrig riktigt fram.

3) Precis.

4) Jag menar de uttryck som AI:n skrev upp för v(t) och x(t).

1) Hur då?

2) är det pga den där kvoten mv0/k som man menar att vi aldrig kommer fram ? Jag förstår inte vad man inte kommer fram till. Kolven verkar närma sig en sträcka

4) Ok.

1) Läs vad AI:n skriver om hur m och k påverkar rörelsen.

2) Ja, x närmar sig mv₀/k mer och mer desto mer tiden går men kommer aldrig riktigt fram.

PATENTERAMERA skrev:
1) Läs vad AI:n skriver om hur m och k påverkar rörelsen.

2) Ja, x närmar sig mv₀/k mer och mer desto mer tiden går men kommer aldrig riktigt fram.

1)AI säger att om k ökar så blir det större inbromsning ( m är oförändrad då antar jag) samt om m ökar så är det långsammare inbromsning (k är förändrad antar jag). Jag vet inte vad den menar med större respektive långsammare inbromsning?

2) Ok jag förstår.

1) Snabbare inbromsning innebär att hastigheten minskar snabbare.

PATENTERAMERA skrev:
1) Snabbare inbromsning innebär att hastigheten minskar snabbare.

Ok jag förstår. Långsammare inbromsning menas med att hastigheten minskar långsammare ?

Ja.