Bestäm vinkelacceleration för stången

Enklast är kanske att inse att O är momentancentrum.

M_Oz = I_Ozz$\alpha$

Och notera att endast tyngdkraften bidrar till momentet kring O.

Om jag inte räknar fel så gäller det att

$\overrightarrow{OG}$ = $\frac{b}{4}$$\left(-{\overrightarrow{e}}_x+\frac{1}{\sqrt{3}}{\overrightarrow{e}}_y\right)$.

Grejen är att min lärare löser uppgifterna på det här sätt och jag får inte till det med den hör uppgiften 

min lärares lösning 

och jag vill lösa på det här sätt men vet inte hur jag ska ställa upp rörelseekvationerna samt momentekvtionen 

${\overrightarrow{a}}_G$ = $\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{OG}$

$\overrightarrow{\alpha }=\alpha {\overrightarrow{e}}_z$

${\overrightarrow{F}}_B$ = $F_B$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{1}{2}{\overrightarrow{e}}_y\right)$

${\overrightarrow{F}}_A=F_A{\overrightarrow{e}}_y$

$m{\overrightarrow{a}}_G=-mg{\overrightarrow{e}}_y+{\overrightarrow{F}}_A+ {\overrightarrow{F}}_B$

M_Gz = $\frac{m{b}^2}{12}\alpha$

$\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}$

Du kan räkna ut cirkelns radie mha cosinussatsen.

Enligt min lärare så ingår inte alla krafter i min friläggning? jag vet inte vilken kraft jag inte har med.

Jag har löst uppgiften så här

Fick den här kommentar av min lärare oxå ”Du ställer upp felaktig formel. Ställ istället upp momentekvationen m.a.p. G, samt kraftekvationerna på komponentform.” 

Hur kan jag ställa upp kraftekvationerna på komponentform och momenteekvationen m.a.p G ?

Lite oklart vilka krafter hen menar. Är detta en kurs i mekanik eller tankeläsning? Kanske menar hen att man skall införa krafter ortogonalt med planet också, för att sedan konkludera att de måste vara noll. Eller så vill hen se en separat friläggning av hylsorna och stången.

Det kanske inte alltid är så klart vad som är vektorer och vad som är skalärer i dina formler. Tex i den andra ekvationen på sidan 2 så kommer först två termer som är vektorer, som sedan flöjls av en skalär term. Det blir konstigt.

Vet inte riktigt vad som är fel i dina formler, då du inte riktigt förklarar vad du gör.

Jag skulle börja med att ställa upp rörelseekvationerna som jag använder generellt.

$\overrightarrow{F}=m{\overrightarrow{a}}_G$     (1)

${\overrightarrow{M}}_G={\dot{\overrightarrow{L}}}_G=\frac{m{b}^2}{12}\alpha \hat{k}=\frac{m{b}^2}{12}\overrightarrow{\alpha }$     (2.0)

Sedan kan man ställa upp sambandsformeln för moment.

${\overrightarrow{M}}_G={\overrightarrow{M}}_O+ \overrightarrow{GO}\times \overrightarrow{F}$ =(mha (1)) = ${\overrightarrow{M}}_O+ \overrightarrow{GO}\times \left(m{\overrightarrow{a}}_G\right)$.

Vi kan sätta in detta i (2.0) och erhåller

${\overrightarrow{M}}_O=\frac{m{b}^2}{12}\overrightarrow{\alpha }+ \overrightarrow{OG}\times \left(m{\overrightarrow{a}}_G\right)$    (2.1).

Sedan har vi sambandsformeln för acceleration

${\overrightarrow{a}}_G={\overrightarrow{a}}_O+ \overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{\omega }\times \left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{OG}\right) = \overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{OG}$,

där det sista steget följer av att O är en fix punkt och vinkelhastigheten är noll initialt.

Vi kan sätta in detta i (2.1).

${\overrightarrow{M}}_O=\frac{m{b}^2}{12}\overrightarrow{\alpha }+ m\overrightarrow{OG}\times \left(\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{OG}\right) = \frac{m{b}^2}{12}\overrightarrow{\alpha } + m\overrightarrow{\alpha }{\left|\overrightarrow{OG}\right|}^2-m\overrightarrow{OG}(\overrightarrow{OG}\bullet \overrightarrow{\alpha }) =\left(\frac{m{b}^2}{12}+m{\left|\overrightarrow{OG}\right|}^2\right)\overrightarrow{\alpha }$    (2.2)

Vi har enligt tidigare inlägg att

$\overrightarrow{OG}=\frac{b}{4}\left(-\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}\right)$.

Vi får därmed

${\left|\overrightarrow{OG}\right|}^2=\frac{b^2}{12}$.

${\overrightarrow{M}}_O=\frac{b}{4}\left(-\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}\right)\times (-mg\hat{j})= \frac{mgb\hat{k}}{4}$.

Ekvation (2.2) blir då

$\frac{mgb\hat{k}}{4}=\frac{m{b}^2}{6}\alpha \hat{k} \Rightarrow \alpha = \frac{3g}{2b}$.

Sedan kan man räkna ut krafterna från ekvation (1), men det efterfrågades inte.

Om krafterna var efterfrågat hur skulle de se ut? är bara lite nyfiken 🙂

$m{\overrightarrow{a}}_G=m\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{OG}=m\frac{3g}{2b}\hat{k}\times \frac{b}{4}\left(-\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j}\right)=\frac{m3g}{8}\left(-\hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i}\right)=-\frac{3mg}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i}+\hat{j}\right)$.

$\overrightarrow{F}=-mg\hat{j}+F_A\hat{j}+F_B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}\right)=\frac{F_B\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \left(-mg+F_A+\frac{F_B}{2}\right)\hat{j}$.

Du kan ställa upp två skalära ekvationer med två obekanta.