Bestäm vinkeln

Du har en volymfunktion som använder höjden h. Höjden kan beräknas om du vet den nya radien r (Pythagoras sats i din stående kon). Radien r i sin tur borde kunna beräknas med hjälp av omkretsen av den nya basytan. Omkretsen är ju $2\pi R$ från början, och så har man klippt bort en bit som beror av R och $\alpha$.

Föreslår att man räknar i radianer och sätter:

$\beta=\frac{\alpha}{2\pi}$

Därefter kan man medelst Skafts tips få:

$V_{kon}(\beta)$ och söka

$\max_{\beta}V_{kon}(\beta)$

Får att $$\begin{gathered} h=\sqrt{R^2-r^2} och 2\mathrm{\pi R}=2\mathrm{\pi r}+\mathrm{\alpha R} <=> \mathrm{r}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\pi R}-\mathrm{R\alpha }}{2\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{V}=\frac{{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}}{2}=\frac{2\mathrm{\pi R}-\mathrm{R\alpha }}{4}\times \sqrt{{\mathrm{R}}^2-\frac{2\mathrm{\pi R}-\mathrm{R\alpha }}{2\mathrm{\pi }}} \end{gathered}$$

Ska jag derivera V med avseende på alfa?

Ser inte riktigt rätt ut. Uttrycket för r borde väl inte ha ett rottecken (dina likställda omkretsar har inga exponenter), och i volymformeln för en kon delar man med 3, inte 2.

Sen kan du säkert derivera m.a.p. alfa, men tänk på att radien och vinkeln är "hopkopplade" med varandra. Du kan därför lika gärna derivera m.a.p. r (vilket ser lättare ut) för att få den radie som maximerar volymen. Sen kan du beräkna vilken vinkel den radien motsvarar.

Utan att kolla närmare så håller jag med Skaft. Uttrycket ser inte rätt ut. Vad får du för dimension? Det borde ju bli m^3 om det är volym! 

ErikR skrev:

Utan att kolla närmare så håller jag med Skaft.

Famous last words ;)

Vilka proportioner har en kon med störst möjliga volym?  Där börjar jag min lösning.

Antar att konens lutande sida har längden  L = $\sqrt{3}$
(att jag antar just denna längd spelar ingen roll, jag är ju ute efter förhållandet sidlängd:radie :höjd)
och det är ju detsamma oavsett konens storlek)

Anta konens bottenradie = r  och höjd = h och volym = V

${\left(\sqrt{3}\right)}^2 = r^2 + h^{2 }$    ---->    $r^2 = 3 - h^2$    [1]

$V\hspace{0.17em}= r^2 · \mathrm{\pi } · h · 1/3$ ---->    $V = (3-h^2) · \mathrm{\pi } · h · 1/3$ ---->  $V = 1 · \mathrm{\pi } · \mathrm{h} - \frac{\mathrm{\pi } · {\mathrm{h}}^3}{3}$

derivera V med avseende på  h

$V\text{'} = \mathrm{\pi } - \mathrm{\pi } · h^2$

$0 = \mathrm{\pi } - \mathrm{\pi } · h^2 = 1 - h^2$    ---->   $h = \sqrt{1}$

[1]  $r^{2 } = 3 - h^2$---->   $r^{2 }= 3 - {\left(\sqrt{1}\right)}^2 = 2$   ---->   $r = \sqrt{2}$

Vilka snygga proportioner på en kon med störst möjliga volym.
sidlängd:radie :höjd   =   $\sqrt{3} : \sqrt{2} : \sqrt{1}$

larsolof skrev:

Vilka proportioner har en kon med störst möjliga volym?  Där börjar jag min lösning.

Antar att konens lutande sida har längden  L = $\sqrt{3}$
(att jag antar just denna längd spelar ingen roll, jag är ju ute efter förhållandet sidlängd:radie :höjd)
och det är ju detsamma oavsett konens storlek)

Anta konens bottenradie = r  och höjd = h och volym = V

${\left(\sqrt{3}\right)}^2 = r^2 + h^{2 }$    ---->    $r^2 = 3 - h^2$    [1]

$V\hspace{0.17em}= r^2 · \mathrm{\pi } · h · 1/3$ ---->    $V = (3-h^2) · \mathrm{\pi } · h · 1/3$ ---->  $V = 1 · \mathrm{\pi } · \mathrm{h} - \frac{\mathrm{\pi } · {\mathrm{h}}^3}{3}$

derivera V med avseende på  h

$V\text{'} = \mathrm{\pi } - \mathrm{\pi } · h^2$

$0 = \mathrm{\pi } - \mathrm{\pi } · h^2 = 1 - h^2$    ---->   $h = \sqrt{1}$

[1]  $r^{2 } = 3 - h^2$---->   $r^{2 }= 3 - {\left(\sqrt{1}\right)}^2 = 2$   ---->   $r = \sqrt{2}$

Vilka snygga proportioner på en kon med störst möjliga volym.
sidlängd:radie :höjd   =   $\sqrt{3} : \sqrt{2} : \sqrt{1}$

 

Visa spoiler

Vinkeln alfa =  $\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) · 360 \approx 66.061$

Tack så mkt för hjälpen! :D