6 svar
44 visningar
solaris 216
Postad: 31 maj 2019

Bestäm volym mellan paraboloiderna

Hej jag har i uppgift att räkna ut volymen som ligger imellan paraboloiderna: 3z = 4-x^2-y^2 och z = x^2+y^2

Jag tänkte att om jag räknar ut volymen för de olika paraboloiderna för sig från skärningspunkten. Skärningspunkten är 1 = x^2+y^2 dvs z = 1. 

Här är mina beräkningar :

Här är bokens förklaring och facit. Här använder dom dubbelintegralen men förstår inte riktigt hur de har tänkt. Kan nån förklara varför min uträckning/idee är fel och hur facit tänkte?

AlvinB 3084
Postad: 31 maj 2019 Redigerad: 31 maj 2019

Du slarvar med dina gränser i zz-led. Ditt första område begränsas ju nedåt av ytan z=x2+y2z=x^2+y^2 (samma sak som z=r2z=r^2), inte ytan z=0z=0! Din integral bör alltså istället vara:

02πθ01rr21zr dzdrdθ\displaystyle\underbrace{\int_0^{2\pi}}_\theta\underbrace{\int_0^1}_r\underbrace{\int_{r^2}^1}_z r\ dzdrd\theta

Du gör ett liknande fel i din andra integral.

solaris 216
Postad: 31 maj 2019

Okej. Om vi kallar z1 = 4/3-x^2/3-y^2/3 och z2 = x^2+y^2 varför tar dom i facit och z1-z2 i sin integral varför inte z2-z1? Och hur kommer det sig att det blir minus ändå?

AlvinB 3084
Postad: 31 maj 2019 Redigerad: 31 maj 2019

Jag skulle se på det som att man helt enkelt ställer upp en integral i zz-led mellan ytorna z=x2+y2z=x^2+y^2 och z=(4-x2-y2)/3z=(4-x^2-y^2)/3. Då får man:

x2+y21x2+y2(4-x2-y2)/31 dz dxdy=x2+y214-x2-y23-x2+y2 dxdy\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leq1}\int_{x^2+y^2}^{(4-x^2-y^2)/3}1\ dz\ dxdy=\iint_{x^2+y^2\leq1}\frac{4-x^2-y^2}{3}-\left(x^2+y^2\right)\ dxdy

Det går också att se på det som att man tar "skillnaden mellan ytorna" och integrerar den volymen. Jämför med hur man beräknar arean mellan graferna till två envariabelfunktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) genom att integrera differensen f(x)-g(x)f(x)-g(x).

Standardfråga 1a: Har du ritat?

 

Nähä, varför inte? Då skulle du ha sett att funktionen du kallar z1 ligger ovanför den du kallar z2 så det är helt självklart varför de gör som de gör. Och vad är det du menar "blir minus ändå"? De får ju fram ett positivt värde på volymen.

solaris 216
Postad: 31 maj 2019

Jag vet att den ena är över den andra eftersom jag HAR ritat. Men undrade varför man skall addera/minus. men AlvinB förklarade rätt bra :) så förstår nu. tack!

solaris skrev:

Jag vet att den ena är över den andra eftersom jag HAR ritat. Men undrade varför man skall addera/minus. men AlvinB förklarade rätt bra :) så förstår nu. tack!

Det lärde man sig i Ma4, kanske redan i Ma3 (men då fick man A-poäng för det).

Svara Avbryt
Close