Bestäm volymen av ett område som roterar kringx=-1 (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

lamayo skrev:

Jagbörjade med att rita upp ungefär hur det ser ut. Men vet inte alls hur jag ska fortsätta.
tacksam för hjälp!

Området ska se ut så här:

Yngve skrev:
lamayo skrev:

Jagbörjade med att rita upp ungefär hur det ser ut. Men vet inte alls hur jag ska fortsätta.
tacksam för hjälp!
Området ska se ut så här:

okej hur ska jag nu veta vart emellan jag ska integrera? är det mellan -4 och 4?

lamayo skrev:
okej hur ska jag nu veta vart emellan jag ska integrera? är det mellan -4 och 4?

Det beror på om du vill använda skalmetoden eller skivmetoden.

Om du använder skalmetoden så ska du integrera i radiell led (dvs i x-led), från x = 0 till x = 4.

Om.du använder skivmetoden så ska du integrera längs med rotationsaxeln (dvs i y-led), från y = 0 till y = 2.

I båda fallen måste du vara noga med hur du beskriver volymselementet eftersom rotationen inte sker kring en koordinataxel.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
okej hur ska jag nu veta vart emellan jag ska integrera? är det mellan -4 och 4?
Det beror på om du vill använda skalmetoden eller skivmetoden.
Om du använder skalmetoden så ska du integrera i radiell led (dvs i x-led), från x = 0 till x = 4.
Om.du använder skivmetoden så ska du integrera längs med rotationsaxeln (dvs i y-led), från y = 0 till y = 2.
I båda fallen måste du vara noga med hur du beskriver volymselementet eftersom rotationen inte sker kring en koordinataxel.

lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
okej hur ska jag nu veta vart emellan jag ska integrera? är det mellan -4 och 4?
Det beror på om du vill använda skalmetoden eller skivmetoden.
Om du använder skalmetoden så ska du integrera i radiell led (dvs i x-led), från x = 0 till x = 4.
Om.du använder skivmetoden så ska du integrera längs med rotationsaxeln (dvs i y-led), från y = 0 till y = 2.
I båda fallen måste du vara noga med hur du beskriver volymselementet eftersom rotationen inte sker kring en koordinataxel.

Det är svårt att förstå hur du resonerar. Det skulle underlätta om du beskriver mer hur du tänker.

Jag ser att du försöker beräkna volymen av en solid rotationskropp först och sedan subtrahera volymen av det cylindriska hål som.finns i mitten. Smart.

Men varifrån har du fått att en (solid).skivas area är $\pi (y-(-1))^2$ ?

Börja med att uttrycka skivans radie i x och uttryck sedan detta i y inman du fortsätter.

Skriv ner alla steg så att vi förstår.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
okej hur ska jag nu veta vart emellan jag ska integrera? är det mellan -4 och 4?
Det beror på om du vill använda skalmetoden eller skivmetoden.
Om du använder skalmetoden så ska du integrera i radiell led (dvs i x-led), från x = 0 till x = 4.
Om.du använder skivmetoden så ska du integrera längs med rotationsaxeln (dvs i y-led), från y = 0 till y = 2.
I båda fallen måste du vara noga med hur du beskriver volymselementet eftersom rotationen inte sker kring en koordinataxel.
Det är svårt att förstå hur du resonerar. Det skulle underlätta om du beskriver mer hur du tänker.
Jag ser att du försöker beräkna volymen av en solid rotationskropp först och sedan subtrahera volymen av det cylindriska hål som.finns i mitten. Smart.
Men varifrån har du fått att en (solid).skivas area är $\pi (y-(-1))^2$ ?
Börja med att uttrycka skivans radie i x och uttryck sedan detta i y inman du fortsätter.
Skriv ner alla steg så att vi förstår.

Vet inte hur jag ska skriva om radien? hur vet jag vad den är uttryckt i y för att sedan uttrycka i x?

lamayo skrev:

Vet inte hur jag ska skriva om radien? hur vet jag vad den är uttryckt i y för att sedan uttrycka i x?

Om du läser mitt inlägg lite mer noggrannt så ser du att jag skriver precis tvärtom: Uttryck radien i x och omvandla sedan det till y.

Gå metodiskt tillväga:

När x-koordinateen är 0 så är radien r = 1, eller hur?
När x-koordinaten är 1 så är radien r = 2, eller hur?

Vad är det då för samband mellan radien r och x-koordinaten?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Vet inte hur jag ska skriva om radien? hur vet jag vad den är uttryckt i y för att sedan uttrycka i x?
Om du läser mitt inlägg lite mer noggrannt så ser du att jag skriver precis tvärtom: Uttryck radien i x och omvandla sedan det till y.
Gå metodiskt tillväga:
När x-koordinateen är 0 så är radien r = 1, eller hur?
När x-koordinaten är 1 så är radien r = 2, eller hur?
Vad är det då för samband mellan radien r och x-koordinaten?

x=2r?

lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
Vet inte hur jag ska skriva om radien? hur vet jag vad den är uttryckt i y för att sedan uttrycka i x?
Om du läser mitt inlägg lite mer noggrannt så ser du att jag skriver precis tvärtom: Uttryck radien i x och omvandla sedan det till y.
Gå metodiskt tillväga:
När x-koordinateen är 0 så är radien r = 1, eller hur?
När x-koordinaten är 1 så är radien r = 2, eller hur?
Vad är det då för samband mellan radien r och x-koordinaten?
x=2r?

Gissar du bara nu?

Om r = 2x så skulle radien i så fall vara 0 då x = 0 och det stämmer inte.

Titta i figuren.

Då x = -1 så är r = 0
Då x = 0 så är r = 1
Då x = 1 så.är r = 2
Då x = 2 så är r = 3 (fast denna radie är utanför figuren)

Vad ger det för samband?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
Vet inte hur jag ska skriva om radien? hur vet jag vad den är uttryckt i y för att sedan uttrycka i x?
Om du läser mitt inlägg lite mer noggrannt så ser du att jag skriver precis tvärtom: Uttryck radien i x och omvandla sedan det till y.
Gå metodiskt tillväga:
När x-koordinateen är 0 så är radien r = 1, eller hur?
När x-koordinaten är 1 så är radien r = 2, eller hur?
Vad är det då för samband mellan radien r och x-koordinaten?
x=2r?
Gissar du bara nu?
Om r = 2x så skulle radien i så fall vara 0 då x = 0 och det stämmer inte.
Titta i figuren.
Då x = -1 så är r = 0
Då x = 0 så är r = 1
Då x = 1 så.är r = 2
Då x = 2 så är r = 3 (fast denna radie är utanför figuren)
Vad ger det för samband?

r=x+1

lamayo skrev:

r=x+1

Ja det stämmer.

Om nu $y=\sqrt{x}$ , vad blir då r uttryckt i y?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
r=x+1
Ja det stämmer.
Om nu $y=\sqrt{x}$ , vad blir då r uttryckt i y?

y-1?

Nej. Ta det i två steg: Om $y= \sqrt{x}$ , vad är då $x(y)$ ? Vad är $r(y)$ , om du vet att $r=x+1$ ?

lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
r=x+1
Ja det stämmer.
Om nu $y=\sqrt{x}$ , vad blir då r uttryckt i y?
y-1?

Du gissar och det kan väl vara OK ibland.

Men du måste i så fall vara noga med att pröva din gissning för att se om den stämmer. Vet du hur du ska göra det?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Yngve skrev:
lamayo skrev:
r=x+1
Ja det stämmer.
Om nu $y=\sqrt{x}$ , vad blir då r uttryckt i y?
y-1?
Du gissar och det kan väl vara OK ibland.
Men du måste i så fall vara noga med att pröva din gissning för att se om den stämmer. Vet du hur du ska göra det?

r(y)=y^2+1. Sorry att det blir rörigt, känner mig lite trött i huvudet

Känner du fig trött i huvudet, så ta en paus från matten och gör något annat. Det är inte mycket mening att försöka lära sig matte om man inte känner sig hyfsat skärpt. (Gissa varför jag oftare gör klantiga fel i mina svar här efter klockan 11 på kvällen, ungefär.)

Smaragdalena skrev:
Känner du fig trött i huvudet, så ta en paus från matten och gör något annat. Det är inte mycket mening att försöka lära sig matte om man inte känner sig hyfsat skärpt. (Gissa varför jag oftare gör klantiga fel i mina svar här efter klockan 11 på kvällen, ungefär.)

okej nu är jag tillbaks. Jag får det fortfarande till att r(y)= y^2+1eftersom att x motsvarar y^2. Hur ska jag tänka?

lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Känner du fig trött i huvudet, så ta en paus från matten och gör något annat. Det är inte mycket mening att försöka lära sig matte om man inte känner sig hyfsat skärpt. (Gissa varför jag oftare gör klantiga fel i mina svar här efter klockan 11 på kvällen, ungefär.)
okej nu är jag tillbaks. Jag får det fortfarande till att r(y)= y^2+1eftersom att x motsvarar y^2. Hur ska jag tänka?

Ja $r=y^2+1$ är rätt. Fortsätt sedan att sätta upp ett uttryck för en (solid) skivas area.

Men hoppa inte iväg för snabbt nu utan ta det steg för steg.

Följ följande instruktion, visa oss ditt resonemang och alla dina delresultat så går det nog bra.

Du ska fylla i egen information överallt där det står <XXX>:

En cirkels area är $A=\pi r^2$
Eftersom det för en skiva gäller att $r=y^2+1$ så är en skivas area A = <XXX>
Skivorna är orienterade <XXX>. Därför är integrationsriktningen i <XXX>-led och integrationsgränserna är från <XXX> till <XXX>
Volymen av den solida rotationskroppen är därför <XXX> (integralen).
Rotationskroppen har ju ett cylinderformat hål i mitten. Hålets volym måste jag dra bort. Cylindern har radien <XXX> och höjden <XXX> och alltså volymen <XXX>.

Och så vidare.

1. En cirkels area är $A=\pi r^2$
2. Eftersom $r=y^2+1$ så är arean A = pi*(y^2+1)^2
3. Skivorna är orienterade i skal. Därför är integrationsriktningen i y-led och integrationsgränserna är från 0 till 2.
4. Nu har jag tagit fram ett uttryck för volymen av den solida rotationskroppen. Men den har ju ett cylinderformat hål i mitten. Det måste jag dra bort. Cylindern har radien 1 och höjden 2 och alltså volymen pi*1^2*2.

5. Volymen för ett skal blir pi*(y^2+1)^2dy. Jag ska nu integrera området. När jag integrerat pi $\int_{0}^{2}$ (y^2+1)^2dy måste jag nu dra bort volymen för den ihåliga cylindern i mitten så att den inte kommer med i mina beräknar eftersom den inte inkluderas i området. Det ger mig $π \int_{0}^{2}$ (y^2+1)^2dy-pi*1^2*2.

6. Sedan gör jag om detta till primitiv funktion pi $[\frac{y^3}{3} + \frac{2 y^3}{3} + y]$ från 0 till 2 - 2pi= pi( $\frac{24}{3}$ +2)-2pi=

Bra! Det mesta är rätt! Integrationsriktning, integrationsgränser, volymselement är rätt.

lamayo skrev:
3. Skivorna är orienterade i skal.

Här var jag egentligen ute efter att skivorna ligger horisontellt staplade på varandra. Var försiktig med att använda ordet "skal" eftersom det då lätt missförstås som att du använder skalmetoden.

lamayo skrev:
6. Sedan gör jag om detta till primitiv funktion pi $[\frac{y^3}{3} + \frac{2 y^3}{3} + y]$ från 0 till 2 - 2pi= pi( $\frac{24}{3}$ +2)-2pi=

Den primitiva funktionen är fel. Utveckla kvadraten $(y^2+1)^2$ innan du tar fram den primitiva funktionen.

Yngve skrev:
Bra! Det mesta är rätt! Integrationsriktning, integrationsgränser, volymselement är rätt.
lamayo skrev:
3. Skivorna är orienterade i skal.
Här var jag egentligen ute efter att skivorna ligger horisontellt staplade på varandra. Var försiktig med att använda ordet "skal" eftersom det då lätt missförstås som att du använder skalmetoden.
lamayo skrev:
6. Sedan gör jag om detta till primitiv funktion pi $[\frac{y^3}{3} + \frac{2 y^3}{3} + y]$ från 0 till 2 - 2pi= pi( $\frac{24}{3}$ +2)-2pi=
Den primitiva funktionen är fel. Utveckla kvadraten $(y^2+1)^2$ innan du tar fram den primitiva funktionen.

okje, såg det nu.

$[\frac{y^5}{5} + \frac{2 y^3}{3} + y] f r å n 0 t i l l 2 p i - 2 p i = \frac{176}{15} ?$

lamayo skrev:

okje, såg det nu.
$[\frac{y^5}{5} + \frac{2 y^3}{3} + y] f r å n 0 t i l l 2 p i - 2 p i = \frac{176}{15} ?$

Bra. Du tänker rätt men slarvar lite. Faktorn pi saknas.

Volymen ska vara $\frac{176\pi }{15}$ v.e.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
okje, såg det nu.
$[\frac{y^5}{5} + \frac{2 y^3}{3} + y] f r å n 0 t i l l 2 p i - 2 p i = \frac{176}{15} ?$
Bra. Du tänker rätt men slarvar lite. Faktorn pi saknas.
Volymen ska vara $\frac{176\pi }{15}$ v.e.

tack så mycket för hjälpen igen