Bestämma en bas

Tänk på vad bas är för något. Det är en uppsättning av linjärt oberoende element i (del)rummet sådan att deras linjära höljet ger hela (del)rummet.

Det linjära rummet $\mathbb{P}_4$ består av alla polynom av gradtalet t.o.m. 4. Alla sådana polynom kan skrivas som en linjär kombination av $\{1, x, x^2, x^3, x^4\}$. Elementen i denna mängd är linjärt oberoende eftersom det enda sättet för att få nollpolynomet är att alla koefficienterna i linjära kombinationen $a_0 x^0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4$ är noll. Med andra ord är mängden $\{1, x, x^2, x^3, x^4\}$ en bas till $\mathbb{P}_4$.

Bas till $H$:

Kravet $p(2) = p^\prime(2)=0$ innebär att $x=2$ är en dubbelrot. Fjärdegradspolynom med en sådan dubbelrot kan faktoriseras enligt faktorsatsen som

$p(x) = (x-2)^2 \cdot (\text{polynom av gradtalet upp till 2})$

$= (x-2)^2 \cdot (c_0 x^0 + c_1 x^1 + c_2 x^2) = c_0 (x-2)^2 + c_1 (x-2)^2 x + c_2 (x-2)^2 x^2$.

Varje polynom i H har alltså kunnat skrivas som en linjär kombination av elementen $\{ (x-2)^2, x\,(x-2)^2, x^2\,(x-2)^2 \}$. Dessa element är linjärt oberoende och därmed bildar dessa tre polynom en bas för $H$.

Alternativ lösning:

Om man inte vet att kravet $p(2) = p^\prime(2) = 0$ innebär att 2:an är en dubbelrot, så kan man hitta basen på ett annat sätt. Alla polynom i $\mathbb{P}_4$ kan skrivas som $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4 x^4$.

Kravet $p(2) = 0$ ger att $a_0 + 2a_1 + 4a_2 + 8a_3 + 16a_4 = 0$, vilket gör att $a_0$ (exempelvis) kan lösas ut: $a_0 = -2a_1 - 4a_2 - 8a_3 - 16a_4$

Kravet $p^\prime(2) = 0$ ger att $a_1 + 4a_2 + 12a_3 + 32a_4 = 0$, vilket gör att $a_1$ (exempelvis) kan lösas ut: $a_1 = - 4a_2 - 12a_3 - 32a_4$.

Sätt in dessa $a_0$ och $a_1$ i det allmänna polynomet i $\mathbb{P}_4$:

$p\left(x\right) = (-2\underbrace{(- 4a_2 - 12a_3 - 32a_4)}_{{=a_1}} - 4a_2 - 8a_3 - 16a_4) + \left(- 4a_2 - 12a_3 - 32a_4\right)x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4 x^4$.

Förenkla och gruppera ihop de termer som multipliceras med $a_2$, resp. med $a_3$, resp. med $a_4$. De tre polynom som på så sätt fåtts utgör basen för $H$. Notera att man (förmodligen) för en annan bas för $H$ än vad man fått i den första lösningsmetoden.

Den alternativa lösningsmetoden kan med fördel användas även i c-uppgiften.

Antag att $p(t) = a_0 + a_1 t + a_2t^2 + a_3t^3 + a_4 t^4$.

Då är $\displaystyle T\left(p\right) = \int_{-1}^1 \left(a_0 + a_1 t + a_2t^2 + a_3t^3 + a_4 t^4\right)\,dt = 2a_0 + \frac{2}{3}a_2 + \frac{2}{5} a_5$ och detta skall vara lika med noll för alla polynom i T:s kärna.

Man kan lösa ut $a_0$ ur ekvationen $2a_0 + \frac{2}{3}a_2 + \frac{2}{5} a_5 = 0$, sedan sätter man in det i det allmänna polynomet och därefter grupperas termerna om så att varje polynom i kärnan beskrivs av en linjärkombination av fyra polynom som fåtts efter omgrupperingen.