15 svar

2108 visningar

binary är nöjd med hjälpen

Bestämma enhetsvektor som är ortogonal mot v

Hej,

har fastnat på en uppgift som jag inte förstår hur jag ska lösa.

" $v = (\begin{matrix} 5 \\ - 7 \end{matrix})$

Bestäm två enhetsvektorer som är ortogonala mot v. "

Jag har i uppgiften innan räknat ut att två enhetsvektorer parallella mot v är $+ - \frac{1}{\sqrt{74}} (\begin{matrix} 5 \\ - 7 \end{matrix})$ .

Hur ska jag tänka sedan? Jag tänker att på något sätt ska det bli $(5 \cdot v_{1}) + (- 7 \cdot v_{2}) = 0$ , men kan inte komma vidare till svaret som står i facit.

Du börjar bra

Kalla vektorn som är ortogonal mot din vektor $s = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ nu beräkna skalärprodukten(dot product) mellan denna vektor och v.

$v \cdot s = (5 \cdot v_{1}) + (- 7 \cdot v_{2}) = 0$ nu är det bara att hitta en relation mellan v1 och v2 och sedan välja värden på dem så de är en enhetsvektorer.

$(5 \cdot v_{1}) + (- 7 \cdot v_{2}) = 0 5 v_{1} - 7 v_{2} = 0 5 v_{1} = 7 v_{2}$ innan jag förtsätter kanske de vore nice att veta att detta är exakt samma sak som en vanlig linjär funktion y=kx. Vi vill välja v1 och v2 så längden av vektorern är 1, vi stoppar helt enkelt in v1, v2 i en längd formel

$\sqrt{{(v_{1})}^{2} + {(v_{2})}^{2}} = 1 \sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(\frac{5}{7} v_{2})}^{2}} = 1 {v_{2}}^{2} + \frac{25}{49} {v_{2}}^{2} = 1 \frac{74}{49} {v_{2}}^{2} = 1 {v_{2}}^{2} = \frac{49}{74} \to v_{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{74}} \to v_{1} = \pm \frac{7}{\sqrt{74}} \cdot \frac{5}{7} = \pm \frac{5}{\sqrt{74}}$

Så vi har att vektorerna ortogonala mot v är $\pm \frac{1}{\sqrt{74}} (\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix})$

Kan inte se att Kallaskulls vektorer är vinkelräta mot vektorn v. Måste vara något slarvfel någonstans, för metoden verkar rätt rent principiellt.

Ett alternativt sätt att lösa detta är att utnyttja komplexa tal.

Vi kan identifiera vektorn $[\begin{matrix} 5 \\ - 7 \end{matrix}]$ med det komplexa talet 5 - 7i.

Multiplikation av ett komplext tal med i motsvarar geometriskt en rotation moturs med 90˚.

i(5 - i7) = 7 + i5, som vi tolkar som vektorn $[\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix}]$ .

Sedan är det bara att normera för att få en enhetsvektor.

Kryssprodukt?

Yeah nu ser jag det nu tack.

Jag gjorde fel när jag substituerade v1 till v2

$\sqrt{{(v_{2})}^{2} + {(\frac{7}{5} v_{2})}^{2}} = 1 v_{2}^{2} + \frac{49}{25} v_{2}^{2} = 1 \frac{74}{25} v_{2}^{2} = 1 v_{2}^{} = \pm \sqrt{\frac{25}{74}} = \pm \frac{5}{\sqrt{74}} \Rightarrow v_{1} = \pm \frac{5}{\sqrt{74}} \cdot \frac{7}{5} = \pm \frac{7}{\sqrt{74}}$

Därför får vi $\pm \sqrt{74} (\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$

Om $5 v_{1} = 7 v_{2}$ , så får jag $v_{2} = \frac{5}{7} v_{1} o c h v_{1} = \frac{7}{5} v_{2}$

Om jag använder $\sqrt{v 1^{2} + v 2^{2}} = 1$ , hur blir det då $v_{2}^{2} + \frac{49}{25} v_{2}^{2} = 1$ ?

Varför blir det två stycken v2? Och varför blir det $\frac{74}{25}$ i nästa steg?

Du vet ju att v₁= $\frac{7}{5}$ v₂. Ersätt v₁ med detta.

v₂² + $\frac{49}{25}$ v₂² = $\frac{25}{25}$ v₂² + $\frac{49}{25}$ v₂² = $\frac{74}{25}$ v₂².

binary skrev:
Om $5 v_{1} = 7 v_{2}$ , så får jag $v_{2} = \frac{5}{7} v_{1} o c h v_{1} = \frac{7}{5} v_{2}$
Om jag använder $\sqrt{v 1^{2} + v 2^{2}} = 1$ , hur blir det då $v_{2}^{2} + \frac{49}{25} v_{2}^{2} = 1$ ?
Varför blir det två stycken v2? Och varför blir det $\frac{74}{25}$ i nästa steg?

Precis som patentamera skrev substituerar jag v_1 i ekvationen $\sqrt{v_{1} + v_{2}} = 1$ och får $\sqrt{{(\frac{7}{5} v_{2})}^{2} + v_{2}^{2}} = 1$

jag kvadrerade båda sidorna ${(\sqrt{{(\frac{7}{5} v_{2})}^{2} + v_{2}^{2}})}^{2} = 1^{2} \to {(\frac{7}{5} v_{2})}^{2} + v_{2}^{2} = 1$ använder potens lagar och får ${(\frac{7}{5})}^{2} v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 1 \to \frac{49}{25} v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 1$

${(\frac{7}{5})}^{2} v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 1 \to \frac{49}{25} v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 1$

Här kopplar det inte riktigt hos mig.

$\frac{49}{25} v_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 1$ , där $v_{2}^{2} = {(\frac{5}{7})}^{2}$ , men det blir ju galet när man gör så, eftersom det blir $\frac{49}{25} + \frac{25}{49} = 1$

Jag missar något uppenbart känns det som...

(det ska vara 7/5 inte 5/7 som jag skrev i första inlägget patentamera rättade mig)

$v_{2}^{2} \neq {(\frac{7}{5})}^{2}$ , varifrån fick du att $v_{2}^{2} = {(\frac{7}{5})}^{2}$ ?

EDIT: kan typ se vart du kommer ifrån men $v_{2}^{2} = {(\frac{7}{5})}^{2} v_{1}^{2}$ inte endast $v_{2}^{2} = {(\frac{7}{5})}^{2}$

Nu är förvirringen total hos mig.
Skulle verkligen uppskatta om du ville ta om allt från början, steg för steg.
Dels fastnar jag på att du säger att det är (7/5) när vi började med (5/-7).

binary skrev:
Nu är förvirringen total hos mig.
Skulle verkligen uppskatta om du ville ta om allt från början, steg för steg.
Dels fastnar jag på att du säger att det är (7/5) när vi började med (5/-7).

Oke. Säg till vilket steg du fastnar på

(1) skalär produkten som du skrev i början är $(5 v_{1}) + (- 7 v_{2}) = 0 \to 5 v_{1} = 7 v_{2}$

(2) Vi vill ha en enhetsvektor alltså gäller det att $\sqrt{{(v_{1})}^{2} + {(v_{2})}^{2}} = 1$

(3) Vi substituerar v_1 för v_2 genom $5 v_{1} = 7 v_{2} \Leftrightarrow v_{1} = \frac{7}{5} v_{2}$

(4) ifall vi substituerar detta in i ekvationen i (2) får vi $\sqrt{{(\frac{7}{5} v_{2})}^{2} + {(v_{2})}^{2}} = 1$

Är du med så länge?

(2)

Kallaskull skrev:
binary skrev:
Nu är förvirringen total hos mig.
Skulle verkligen uppskatta om du ville ta om allt från början, steg för steg.
Dels fastnar jag på att du säger att det är (7/5) när vi började med (5/-7).
Oke. Säg till vilket steg du fastnar på
(1) skalär produkten som du skrev i början är $(5 v_{1}) + (- 7 v_{2}) = 0 \to 5 v_{1} = 7 v_{2}$
(2) Vi vill ha en enhetsvektor alltså gäller det att $\sqrt{{(v_{1})}^{2} + {(v_{2})}^{2}} = 1$
(3) Vi substituerar v_1 för v_2 genom $5 v_{1} = 7 v_{2} \Leftrightarrow v_{1} = \frac{7}{5} v_{2}$
(4) ifall vi substituerar detta in i ekvationen i (2) får vi $\sqrt{{(\frac{7}{5} v_{2})}^{2} + {(v_{2})}^{2}} = 1$
Är du med så länge?
(2)

Nu föll några polletter ner! Än så länge är jag med på alla steg.

binary, börja från början och visa hur långt du kommer, så kan vi hjälpa dig vidare från där du är.

Gött binary!

Det enda vi behöver göra är att lösa ut värdet för v_2 och sedan hitta v_1 via relationen $v_{1} = \frac{7}{5} v_{2}$ , fattar du va jag mena?

Ah, nu ser jag ju. Förstår inte riktigt varför det var så svårt att förstå något så enkelt. Tack för tålamodet.

Svara Avbryt

Visa senaste svar