Bestämma ett värde på a

Lösningarna till ett linjärt ekvationssystem med konstanta koefficienter kan skrivas på formen

$\displaystyle \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} = c_1\,e^{\lambda_1\,t} \mathbf{v}_1 + c_2\,e^{\lambda_2\,t} \mathbf{v}_2$

där $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ är godtyckliga konstanter,  $\lambda_1 \ne \lambda_2 \in \mathbb{C}$ är egenvärdena till ODE:s matris och $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathbb{C}^2$ är tillhörande egenvektorer. (Lösningen har en annan form ifall $\lambda_1=\lambda_2$).

Oavsett $a \in \mathbb{R}$, så finns det alltid den triviala konstanta lösningen $x(t) = y(t) = 0$.

Vill man ha en icke-trivial lösning som går mot noll då $t\to \infty$, så måste (minst) ett av egenvärdena $\lambda_1$, $\lambda_2$ vara negativt.

För vilka värden på $a$ är ett av egenvärdena negativt?

Vad kan man säga om konstanten $c_1$ i lösningsformeln då $\lambda_1 > 0$ om man vill att lösningen går mot noll när $t\to \infty$?

LuMa07 skrev:

Lösningarna till ett linjärt ekvationssystem med konstanta koefficienter kan skrivas på formen

$\displaystyle \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} = c_1\,e^{\lambda_1\,t} \mathbf{v}_1 + c_2\,e^{\lambda_2\,t} \mathbf{v}_2$

där $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ är godtyckliga konstanter,  $\lambda_1 \ne \lambda_2 \in \mathbb{C}$ är egenvärdena till ODE:s matris och $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathbb{C}^2$ är tillhörande egenvektorer. (Lösningen har en annan form ifall $\lambda_1=\lambda_2$).

Oavsett $a \in \mathbb{R}$, så finns det alltid den triviala konstanta lösningen $x(t) = y(t) = 0$.

Vill man ha en icke-trivial lösning som går mot noll då $t\to \infty$, så måste (minst) ett av egenvärdena $\lambda_1$, $\lambda_2$ vara negativt.

För vilka värden på $a$ är ett av egenvärdena negativt?

Vad kan man säga om konstanten $c_1$ i lösningsformeln då $\lambda_1 > 0$ om man vill att lösningen går mot noll när $t\to \infty$?

Om vi tar lambda1 så får vi lambda1<0 då  -1/4 <sqrt(a). Ett exempel på a är 1.  Men varför väljer man inte båda lambda?  Jag har för mig om båda är negativ får vi unstable. 

Lösningen är asymptotiskt stabil ifall båda egenvärdena är negativa (respektive är komplexa med negativ realdel).

Du har ju tagit reda på att $\lambda_1 = 1 + 2\sqrt{a}$ och $\lambda_2 = 1 - 2 \sqrt{a}$. Går det att hitta ett tal $a$ sådant att båda egenvärdena blir negativa?

Väljer du $a=1$, så blir $\lambda_1 = 3$ (positivt) medan $\lambda_2 = -1$ (negativt)

LuMa07 skrev:

Lösningen är asymptotiskt stabil ifall båda egenvärdena är negativa (respektive är komplexa med negativ realdel).

Du har ju tagit reda på att $\lambda_1 = 1 + 2\sqrt{a}$ och $\lambda_2 = 1 - 2 \sqrt{a}$. Går det att hitta ett tal $a$ sådant att båda egenvärdena blir negativa?

Väljer du $a=1$, så blir $\lambda_1 = 3$ (positivt) medan $\lambda_2 = -1$ (negativt)

Ok jag förstår. I denna uppgift är man nog inte ute efter att få båda egenvärden att bli negativa utan endast en av dem så att lösningen går mot 0 eller? Jag kan inte komma ett tal a under roten ur som gör att båda egenvärden blir negativa. Man får ju inte ta negativa tal under rottecknet såvida det inte är något komplext tal tex -1, men då blir en av egenvärden fortfarande positivt och den andra negativt. 

Så det bästa är alltså att välja den negativa lambda2 och välja tex a=1 och C1=0 så att vi får en lösning som går mot 0 då t=>inf?

destiny99 skrev:

Så det bästa är alltså att välja den negativa lambda2 och välja tex a=1 och C1=0 så att vi får en lösning som går mot 0 då t=>inf?

Ja, exakt!