Bestämma konstanten i ekvation med gränsvärde

Hej,

Uppgiften är att bestämma konstanten A så likheten stämmer. Jag har löst uppgiften på två olika sätt, men bara ett av sätten gav rätt resultat. Jag förstår dock inte riktigt vad jag gjorde för fel den första gången. Rätt lösning är A=4/7.

Första lösningen:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Ax}{4x+A}=\frac{1}{7}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{Ax}{x}}}{{\displaystyle \frac{4x+A}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{7}{x}}}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A}{4+{\displaystyle \frac{A}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{7}{x}}}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A}{4+0}=0\Rightarrow A=0$

Andra lösningen:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Ax}{4x + A}=\frac{1}{7}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cancel{x}\times A}{\cancel{x} \times \left(4 + {\displaystyle \frac{A}{x}}\right)}=\frac{1}{7}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A}{4+{\displaystyle \frac{A}{x}}}=\frac{1}{7}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{A}{4+0}=\frac{1}{7}\Rightarrow A=\frac{4}{7}$

Skulle någon vilja förklara vad som blev fel i första lösningen?

Tack på förhand!