18 svar
205 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 11 apr 2019

Bestämma konstanttermen

Jag ska nu bestämma konstanttermen till (5·x4+(-2x))25.

Jag skulle för det första behöva ha hjälp men att veta vilken metod som ska användas? 

Det är alltså värdet på x som ska bestämmas?

Vi har ju inget högerled, så det känns inte helt glasklart hur jag ska börja här. Skriv gärna ledtrådar till mig. 

Det är inte värdet på x som ska bestämmas. När du utvecklar parentesen kommer du att få en lång rad termer, typ 5x10-4x8-10x6... (fingerade värden). Du kommer också få en term som inte har något x, en konstantterm. Det är denna som du ska bestämma storleken på. Hur kan du göra för att utveckla parentesen?

Spoiler alert!

*host host* Binomialsatsen! *host host*

Egocarpo 531
Postad: 11 apr 2019

Ex. p(x)= 2+5x+7x2 

Konstant termen i p(x) är den term som inte påverkas av x. D.v.s. 2 för polynomet p(x).

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 11 apr 2019 Redigerad: 11 apr 2019

Ledtrådar:

Konstanttermen i

  • (x+b)1=x+b(x+b)^1=x+b är bb
  • (x+b)2=x2+2xb+b2(x+b)^2=x^2+2xb+b^2 är b2b^2
  • (x+b)3=x3+3x2b+3xb2+b3(x+b)^3=x^3+3x^2b+3xb^2+b^3 är b3b^3

o.s.v, eftersom det endast är dessa termer som är konstanta, dvs oberoende av värdet på x.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 11 apr 2019 Redigerad: 11 apr 2019

Tack alla! Jag känner igen detta. Binomialsatsen, hehe.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 apr 2019 Redigerad: 13 apr 2019

Kan jag skriva uttrycket inom parentesen så häromnatten jag börjar använda summaformeln i binomialsatsen?

(5x4-2x)25

EDIT: Tack Smutstvätt, för ditt svar nedan. Då skriver jag i stället så här:

(5x4+(-2x)25

Jadå, det går bra, men glöm inte att minustecknet kommer att finnas kvar i (vissa av) termerna. :)

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 apr 2019

Albiki 3970
Postad: 13 apr 2019

Hej!

Binomialsatsen låter dig skriva ditt uttryck såhär.

    k=02525k(-2x-1)k(5x4)25-k.\sum_{k=0}^{25}{25\choose k}(-2x^{-1})^{k}(5x^4)^{25-k}.

Splittra faktorerna så att produkterna består av tal och av x-potenser.

    25k(-1)k2k525-k·x100-5k.{25\choose k}(-1)^{k}2^{k}5^{25-k}\cdot x^{100-5k}.

Konstanttermen svarar mot noll-potensen av xx.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Konstanttermen borde bli något upphöjt i 25.

Det är också när k=25.

Egocarpo 531
Postad: 14 apr 2019

Du måste väl lista ut när x-k*x4(25-k)= x0. För då får du x0 vilket är 1. Då har du konstant termen. När du har k-värdet kan du stoppa in det i din formel.  Då får du ut koefficienten. 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

När k=20 så är x0=1.

Hur menar du med att jag då har konstanttermen? 

Och vilken är koefficienten som du menar att jag får fram genom att sätta in k-värdet i formeln?

(Jag har provat med några olika värden på konstanttermen som svar på uppgiften och den är inte 1 och inte -225 vilket jag föreslagit, men jag förstår ju att jag måste göra fel här).

Är detta formeln där jag ska sätta in k=20

25k(-1)k2k525-k· x100-5k ?

AlvinB Online 3092
Postad: 14 apr 2019

Jag tror du blandat ihop termerna litegrann. En konsttantterm är en term som inte beror på värdet av xx; den är konstant oavsett xx-värde. Om man utvecklar till exempel (x+1)25(x+1)^{25} skulle den sista termen i utvecklingen vara konstanttermen, men så är inte fallet här, för nu beror nämligen båda termer i parentesen av xx. Då kommer den sista termen att vara en potens av xx (mer specifikt nagot/x25\text{n}\stackrel{\circ}{\text{a}}\text{got}/x^{25}). Konstanttermen kommer faktiskt att vara någonstans i mitten av utvecklingen, vid kk-värdet då de negativa och positiva potenserna tillsammans ger exponenten noll (och eftersom x0=1x^0=1 försvinner beroendet av xx, därmed är det konstanttermen).

Som du löst ut så är potensen för xx lika med noll då k=20k=20. Sätter du in detta i Albikis uttryck får du alltså värdet på konstanttermen. Det är dock viktigt att du förstår hur man får fram Albikis uttryck. Gör du det?

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 apr 2019

Ja, jag förstår precis hur Albiki fick fram uttrycket, genom att jag känner till potensreglerna. Tack för förklaringen, jag förstår vad du menar AlbinB. Det var bra förklarat.

Ja, jag förstod att denna uppgift var annorlunda än de enklare exemplen i boken eftersom det var x i båda termerna (x+y)25.

Albiki 3970
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Konstanttermen i binomialutvecklingen motsvarar k=20k=20 och är

    252022055=25525210105=255·32·102400000{25\choose 20} 2^{20}5^{5} = {25\choose 5}2^{5}2^{10}10^{5}={25\choose 5} \cdot 32 \cdot 102400000.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 15 apr 2019 Redigerad: 15 apr 2019

Det blev ett väldigt stort tal!

Ursäkta att jag inte svarade med att sätta in k i formeln igår, det blev inte tid till det.

Jag förstår fullt ut det som står före första likhetstecknet.

(-1)^20 = 1 så den behöver  ju inte skrivas ut.

Återkommer under dagen med mer respons för att visa att jag förstått eller fråga ytterligare.

Tack för ert engagemang.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 15 apr 2019 Redigerad: 15 apr 2019

Vad skedde i andra steget där

252022055 blev 25525210105 ?

När man ändrar k-värdet så kan man laborera med potenserna, men efter vilka regler sker det?

Sista steget är jag  med på där man får 255 · 32 · 102 400 000.

Jag kan även se att 255=nk=n!k!(n-k)!=2520=5·6·23·11·7=53 130.

Man kan svara att konstanttermen är 53 130 ·220·55. Det godtogs som svar i min webbövning.

AlvinB Online 3092
Postad: 15 apr 2019 Redigerad: 15 apr 2019

Albikis magi med potenserna kommer inte från att han ändrar i binomialkoefficienterna, för där gäller ju identiteten:

nk=nn-k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}

vilket i vårt fall ger:

2520=255\begin{pmatrix}25\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25\\5\end{pmatrix}

Omskrivningen är faktiskt bara potenslagarna applicerade i flera steg:

220·55=210·210·55=210·25·25·55=210·25·2·55=210·25·1052^{20}\cdot5^5=2^{10}\cdot2^{10}\cdot5^5=2^{10}\cdot2^5\cdot2^5\cdot5^5=2^{10}\cdot2^5\cdot\left(2\cdot5\right)^5=2^{10}\cdot{2^5}\cdot10^5

Denna omskrivning gör det enklare att beräkna värdet (eftersom vi får tiopotenser) för hand, men om man ändå har miniräknare kanske det inte är helt nödvändigt.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 15 apr 2019

Klurigt och smart. Det är bra om man kan lösa det mesta utan miniräknare tycker jag.

Svara Avbryt
Close