Bestämma lösning till ekvationssystem

Jag förstår inte riktigt uppgiften.

c) verkar vara en ja-eller-nej fråga så hur kan den ha svaret $-\frac{1}{3}$ ?

Om frågan istället är: "Vilket är det minsta värdet för $k$ så att det finns en lösning i första kvadranten?"
så blir det mer begripligt.

Om vi löser detta ekvationssystem så får vi följande:

$$\begin{gathered} y = kx +2 \\ 2\left(kx +2\right) + x =\hspace{0.17em}6 \\ x(2k + 1) = 6-4 \\ x =\hspace{0.17em}\frac{2}{2k + 1} \\ y = \frac{2k}{2k+1} + 2 \end{gathered}$$

I första kvadranten måste $x \ge 0$ och därför gäller att:

$$\begin{gathered} \frac{2}{2k+1} \ge 0 \\ 2k +1 \ge 0 \\ k \ge -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Detta är viktigt eftersom vi vill kunna multiplicera med $2k+1$ utan att byta olikhetstecken.

I första kvadranten måste även $y \ge 0$ och därför gäller att:

$$\begin{gathered} \frac{2k}{2k+1} + 2 \ge 0 \\ 2k + 2\left(2k+1\right) \ge 0 \\ 6k + 2 \ge 0 \\ k \ge -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Om $k$ uppfyller det andra kravet uppfyller det också det första.
Därför är det minsta $k$ där ekvationssystemet har en lösning i första kvadranten:
$k = -\frac{1}{3}$

jarenfoa skrev:

Jag förstår inte riktigt uppgiften.

c) verkar vara en ja-eller-nej fråga så hur kan den ha svaret $-\frac{1}{3}$ ?

Om frågan istället är: "Vilket är det minsta värdet för $k$ så att det finns en lösning i första kvadranten?"
så blir det mer begripligt.

Om vi löser detta ekvationssystem så får vi följande:

$$\begin{gathered} y = kx +2 \\ 2\left(kx +2\right) + x =\hspace{0.17em}6 \\ x(2k + 1) = 6-4 \\ x =\hspace{0.17em}\frac{2}{2k + 1} \\ y = \frac{2k}{2k+1} + 2 \end{gathered}$$

I första kvadranten måste $x \ge 0$ och därför gäller att:

$$\begin{gathered} \frac{2}{2k+1} \ge 0 \\ 2k +1 \ge 0 \\ k \ge -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Detta är viktigt eftersom vi vill kunna multiplicera med $2k+1$ utan att byta olikhetstecken.

I första kvadranten måste även $y \ge 0$ och därför gäller att:

$$\begin{gathered} \frac{2k}{2k+1} + 2 \ge 0 \\ 2k + 2\left(2k+1\right) \ge 0 \\ 6k + 2 \ge 0 \\ k \ge -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Om $k$ uppfyller det andra kravet uppfyller det också det första.
Därför är det minsta $k$ där ekvationssystemet har en lösning i första kvadranten:
$k = -\frac{1}{3}$

Tusen tack!