Bestämma minsta radius of convergence

Med beteckningen enligt denna sats är P(x)=1,  Q(x)=4  och R(x)=6x, så p(x)=4 och q(x)=6x.

När man tar fram potensserieutvecklingarna för p(x) respektive q(x) kring x₀=0 respektive x₀=3 så får man en uppskattning för lösningens konvergensradie nedåt.

Kring x₀=0:

• $\displaystyle p\left(x\right) = 4 = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$,  där  $a_0=4$ och $a_k = 0$ för alla $k>0$. Konvergensradien är $\infty$.
• $\displaystyle q\left(x\right) = 6x = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$,  där  $b_1=6$ och $b_k = 0$ för alla $k\ne 1$. Konvergensradien är $\infty$.

Konvergensradien för ODE:ns lösning är då $\infty$.

Kring x₀=3:

• $\displaystyle p\left(x\right) = 4 = \sum_{k=0}^\infty c_k \left(x-3\right)^k$,  där  $c_0=4$ och $c_k = 0$ för alla $k>0$. Konvergensradien är $\infty$.
• $\displaystyle q\left(x\right) = 6x = 18 + 6\left(x-3\right)= \sum_{k=0}^\infty d_k \left(x-3\right)^k$,  där  $b_0=18$, $b_1=6$ och $b_k = 0$ för alla $k> 1$. Konvergensradien är $\infty$.

Konvergensradien för ODE:ns lösning är då $\infty$.

LuMa07 skrev:

Med beteckningen enligt denna sats är P(x)=1,  Q(x)=4  och R(x)=6x, så p(x)=4 och q(x)=6x.

När man tar fram potensserieutvecklingarna för p(x) respektive q(x) kring x₀=0 respektive x₀=3 så får man en uppskattning för lösningens konvergensradie nedåt.

Kring x₀=0:

• $\displaystyle p\left(x\right) = 4 = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$,  där  $a_0=4$ och $a_k = 0$ för alla $k>0$. Konvergensradien är $\infty$.
• $\displaystyle q\left(x\right) = 6x = \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$,  där  $b_1=6$ och $b_k = 0$ för alla $k\ne 1$. Konvergensradien är $\infty$.

Konvergensradien för ODE:ns lösning är då $\infty$.

Kring x₀=3:

• $\displaystyle p\left(x\right) = 4 = \sum_{k=0}^\infty c_k \left(x-3\right)^k$,  där  $c_0=4$ och $c_k = 0$ för alla $k>0$. Konvergensradien är $\infty$.
• $\displaystyle q\left(x\right) = 6x = 18 + 6\left(x-3\right)= \sum_{k=0}^\infty d_k \left(x-3\right)^k$,  där  $b_0=18$, $b_1=6$ och $b_k = 0$ för alla $k> 1$. Konvergensradien är $\infty$.

Konvergensradien för ODE:ns lösning är då $\infty$.

Jag förstår inte varför a_k=0 , b_k=0 osv? Sen har jag svårt att hänga med hur det blir oändlighet för konvergensradie?

Här nedan hänger jag inte alls med på hur du räknar och använder serien så jag är ganska lost där. 

I boken gör de såhär så jag antar kring x0=0 för p(x)=4+4(x-0)+....+4_nxⁿ = summa från n=0 =>inf 4_nxⁿ

Du känner väl till Taylorserier, eller? Och hur man bestämmer deras konvergensradie?

(Just i denna konkreta uppgift är just Taylorserier kanske en overkill, men de funkar bra. I denna konkreta uppgift har man bara polynom, d.v.s. ändliga summor, som alltså är konvergenta för alla $x\in \mathbb{C}$, d.v.s. konvergensradien är $\infty$)

Alternativt kan du använda karaktärisering som omnämns strax innan Exempel 2 i Avsnitt 5.3:

Här är $P(x) = 1$, så polynomet $P(x)$ har inga nollställen. Avståndet från $x_0=0$ respektive $x_0=3$ till närmaste nollstället är då $\infty$.

LuMa07 skrev:

Du känner väl till Taylorserier, eller? Och hur man bestämmer deras konvergensradie?

(Just i denna konkreta uppgift är just Taylorserier kanske en overkill, men de funkar bra. I denna konkreta uppgift har man bara polynom, d.v.s. ändliga summor, som alltså är konvergenta för alla $x\in \mathbb{C}$, d.v.s. konvergensradien är $\infty$)

---

Alternativt kan du använda karaktärisering som omnämns strax innan Exempel 2 i Avsnitt 5.3:

Här är $P(x) = 1$, så polynomet $P(x)$ har inga nollställen. Avståndet från $x_0=0$ respektive $x_0=3$ till närmaste nollstället är då $\infty$.

Det var ett tag sen jag höll på med taylorserier så jag minns tyvärr inte hur man bestämmer konvergensradie därifrån. Det var ett år sen sist. Så det andra sättet är göra som du sa med exempel 2? Jag tror någon på yt gjorde på det sättet när man har en koefficient polynom framför P(x) tex (x-1) eller liknande och då är x=1 (nollställe då) och sen bestämmer man radius convergens från ordinary point till närmaste nollställe, men i detta fall saknar vi nollställe så det blir oändlighet.