Bestämma om given funktionsserie likformigt konvergerar

Hej!

Uppgiften:

Har problem med att inse hur man kan dra slutsats nedan:

Hur kan man vara så säker på att den en enstaka term av summan kommer vara större än hela seriens "svans"? Generellt gäller ju

$\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1} - \sum^{n}_{k=1} = \sum^{\infty}_{k=n+1}$

Hur kan man plocka bort summan och sätta in den första termen (k=n+1)? Förstår att den kommer vara störst överlag, men inte att den skulle vara större än summan av alla övriga.

För att vi har faktorn (-1)^k i summan. Om (-1)ⁿ⁺¹ är positivt så kommer (-1)ⁿ⁺² vara negativt, och vice versa. Detta gör att termen för k=n+1 och för k=n+2 kommer få omvänt tecken så om vi adderar dem samman och sedan tar absolutbelopp på dem får vi ett värde lägre än om vi bara tagit termen för k=n+1.

Tar vi även med termen för k=n+3 vi det till att den skall bli större än summan av termerna för k=n+1 och för k=n+2 (som ju hade olika tecken) för att vi skall få ett större värde än bara för k=n+1.

Det är en egenskap hos alternerande serier, där termernas absolutbelopp går monotont mot noll:

$\displaystyle \left| \sum_{k=n+1}^\infty \left(-1\right)^k a_k \right| \le a_{n+1}$ gäller så länge $a_k \searrow 0$ .

Motivering till detta påstående finns (förutom Bedinsis svar ovan) exempelvis på https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

Okej, det tänkte jag inte på. Tack så mycket.

Svara

Visa senaste svar