Bestämma summan av de tre rötternas kvadrater till en tredjegradsekvation

Låt r, s och t var rötterna till ekvationen x³ + 3x² + x + 8 = 0.

Bestäm r² + s² + t^2.

Mitt försök.

Enligt sambandet mellan koefficienter och rötter vet vi att

r + s + t = -3

r*s + r*t + s*t = 1

r*s*t = -8

 

Då r*s*t = -8 måste minst en rot vara negativ. Vi kan också lätt se att vid x = 0 blir svaret 8 och därefter växer den bara när x blir större. Om vi sätter x = -1 får vi -1 + 3 - 1 + 8 = 9. Vi ser också att för x = 0 blir svaret 8 och att när x växer blir värdet bara större. Det största reella x måste alltså vara mindre än -1. Utifrån det och r + s + t = -3 kan vi då dra slutsatsen att minst en rot är icke-reell. Då koefficienterna är reella vet vi då att även konjugatet till den icke-reella roten är en rot. Vi har alltså en reell negativ rot och två icke-reella. Vi kan nu skriva om ekvationerna för sambandet mellan koefficienter och rötter.

r + s + t = -3 >> r + (a + bi) + (a -bi) = -3 >> r + 2a = -3

r * (a + bi) + r * (a - bi) + (a + bi)(a - bi) = 1  >> 2ra + a² + b² = 1

r*(a+bi)(a-bi) = -8 >> r*(a² + b²) = -8

Men nu kommer jag inte riktigt vidare.

Jag har även testat att genomför polynomdivision med på en ursprungliga ekvationen med (x - (a + bi))(x - (a - bi)) = x² - 2ax + (a² + b²) där vi kan använda oss av att vi vet att den måste gå jämnt ut då vi antagit att (a + bi) och dess konjugat är rötter till ekvationen. Men de ekvationer jag får ut därigenom leder mig antingen tillbaka till sambandet mellan koefficienter och rötter eller också har de för många okända variabler.

Till exempel leder polynomdivisionen mig till faktorn (x + (3 + 2a)) eller x = -3 - 2a vilket är ett samband vi redan vet om.

Kan någon hjälpa mig?