Bestämma T(rho) (Matematik/Universitet/Övrigt)

Den effekt som genereras i centrum måste motsvaras av ett lika stort effektflöde genom cylinderytan. Det ger ett villkor på $\frac{\partial T}{\partial ρ} (R)$ .

PATENTERAMERA skrev:
Den effekt som genereras i centrum måste motsvaras av ett lika stort effektflöde genom cylinderytan. Det ger ett villkor på $\frac{\partial T}{\partial ρ} (R)$ .

Vad menar du? Jag förstår nog inte riktigt. Vi vet att k₀ är vid rho=0 givet från uppgiften.

Du har inte använt $\kappa_0$ .

Laguna skrev:
Du har inte använt $\kappa_0$ .

Var då?

Bump

I centrum så genereras det en värmeeffekt k₀ per längdenhet. I ett stationärt tillstånd så måste en lika stor värmeeffekt strömma ut ur cylinderytan per längdenhet, annars skulle värmeenergin i cylindern öka och vi skulle inte kunna ha ett stationärt tillstånd.

PATENTERAMERA skrev:
I centrum så genereras det en värmeeffekt k₀ per längdenhet. I ett stationärt tillstånd så måste en lika stor värmeeffekt strömma ut ur cylinderytan per längdenhet, annars skulle värmeenergin i cylindern öka och vi skulle inte kunna ha ett stationärt tillstånd.

Ok. Men är ej stationärt tillstånd att dT/dt=0 för rho=R? Vet ej om jag tänker rätt gällande vad som gäller för stationärt tillstånd här.

Stationärt tillstånd betyder att $\frac{\partial T}{\partial t} = 0$ överallt, dvs inget tidsberoende. Din lösning uppfyller redan detta.

PATENTERAMERA skrev:
Stationärt tillstånd betyder att $\frac{\partial T}{\partial t} = 0$ överallt, dvs inget tidsberoende. Din lösning uppfyller redan detta.

Ok.

1)Men det här med hur k₀ och stationärt tillstånd hänger ihop förstår jag inte. Om det genereras värmeeffekt i centrum dvs inuti cylindern så säger du att lika mycket värmeffekt ska strömma ut på cylinderytan

2)men vi vet att då rho=R så är värmeeffekt per längdenhet lika med k0.

Hur vill du hantera i modellen faktumet att värme alstras i mitten av cylindern?

Din ekvation

är korrekt men du har inte tagit hänsyn till k alls i din modellering. Korrekt modellering kommer att dölja k i randvillkoren precis som Patentera-mera poängterar i sitt inlägg.

Grundproblemet är att effekten som den beskrivs är diskontinuerlig eftersom den är koncentrerad till en endimensionell linje i en 3-dimensionell geometri. Man kan modellera det med dirac-funktioner (mer om det i slutet) men är i slutändan bortkastad möda. Lösningen på problemet är att strunta i vad som händer vid $\rho = 0$ där $\nabla^2 T$ faktiskt inte är 0 utan istället isolera sig till $\rho > 0$ eftersom man vet att $\nabla^2 T = 0$ utanför detta område där ingen effekt tillförs.

Vad som händer vid mitten påverkar dock såklart temperaturfördelningen så det måste fortfarande in i modelleringen och det får man göra via principen att

Effekten som alstras i mitten lämnar vid randytan $\rho = R$

SKAPA ETT RANDVILLKOR SOM MOTSVARAR DETTA. Använd kontinuitetsekvationen att värmeflödet över randen måste vara lika med den totala värmeproduktionen i volymen.

Fördjupning:

Om vi går tillbaka till övermodellering i den allmänna formeln

så representerar $k$ värmeeffekten som alstras vid en punkt. I detta fall så är k i praktiken en dirac-delta-effekt som är helt koncentrerad vid cylinderns mitt. Att modellera detta går men är krångligt och är i regel lite överkurs introducerande PDE men jag tänker göra det ändå.

$k$ -termen i differentialekvationen är i praktiken

$k(\rho, \phi, z, t) = \kappa_0 \frac{\delta(\rho)}{2\pi \rho}$

Ja, det är dirac-delta dividerad med en faktor som blir noll när $\rho = 0$ . Helt knäppt men är så det blir. Man kan kontrollera detta genom att göra en volymintegral runt mitten $\iiint k dV = \kappa_0 L$ där L är $z$ -längden hos kontrollvolymen.

Om man ställer upp differentialekvationen på hela cylindern $0 \leq \rho \leq R$ så blir differentialekvationen alltså

$\nabla^2 T = - \cfrac{-\kappa_0}{2\pi \lambda \rho}\delta(\rho)$

dvs endast lika med noll för $\rho > 0$ .

Om vi isolerar oss till $\rho > 0$ får vi den fina ekvationen

$\nabla^2 T = 0$

men gör vi det så förlorar vi informationen om värmeproduktionen och den måste arbetas in på något annat sätt.

SeriousCephalopod skrev:
Hur vill du hantera i modellen faktumet att värme alstras i mitten av cylindern?

Din ekvation

är korrekt men du har inte tagit hänsyn till k alls i din modellering. Korrekt modellering kommer att dölja k i randvillkoren precis som Patentera-mera poängterar i sitt inlägg.

Grundproblemet är att effekten som den beskrivs är diskontinuerlig eftersom den är koncentrerad till en endimensionell linje i en 3-dimensionell geometri. Man kan modellera det med dirac-funktioner (mer om det i slutet) men är i slutändan bortkastad möda. Lösningen på problemet är att strunta i vad som händer vid $\rho = 0$ där $\nabla^2 T$ faktiskt inte är 0 utan istället isolera sig till $\rho > 0$ eftersom man vet att $\nabla^2 T = 0$ utanför detta område där ingen effekt tillförs.

Vad som händer vid mitten påverkar dock såklart temperaturfördelningen så det måste fortfarande in i modelleringen och det får man göra via principen att

Effekten som alstras i mitten lämnar vid randytan $\rho = R$

SKAPA ETT RANDVILLKOR SOM MOTSVARAR DETTA. Använd kontinuitetsekvationen att värmeflödet över randen måste vara lika med den totala värmeproduktionen i volymen.

Fördjupning:

Om vi går tillbaka till övermodellering i den allmänna formeln

så representerar $k$ värmeeffekten som alstras vid en punkt. I detta fall så är k i praktiken en dirac-delta-effekt som är helt koncentrerad vid cylinderns mitt. Att modellera detta går men är krångligt och är i regel lite överkurs introducerande PDE men jag tänker göra det ändå.

$k$ -termen i differentialekvationen är i praktiken

$k(\rho, \phi, z, t) = \kappa_0 \frac{\delta(\rho)}{2\pi \rho}$

Ja, det är dirac-delta dividerad med en faktor som blir noll när $\rho = 0$ . Helt knäppt men är så det blir. Man kan kontrollera detta genom att göra en volymintegral runt mitten $\iiint k dV = \kappa_0 L$ där L är $z$ -längden hos kontrollvolymen.

Om man ställer upp differentialekvationen på hela cylindern $0 \leq \rho \leq R$ så blir differentialekvationen alltså

$\nabla^2 T = - \cfrac{-\kappa_0}{2\pi \lambda \rho}\delta(\rho)$

dvs endast lika med noll för $\rho > 0$ .

Om vi isolerar oss till $\rho > 0$ får vi den fina ekvationen

$\nabla^2 T = 0$

men gör vi det så förlorar vi informationen om värmeproduktionen och den måste arbetas in på något annat sätt.

Jag läser inte PDE och sånt justnu vilket är överkurs för mig som du säger. Detta gör även att jag inte riktigt hänger med på vad du försöker säga med diracs delta och sånt. Så jag lägger upp AI:s svar på det som är på diff del 1 nivå.

Har du förstått resonemanget som jag och AI:n gör?

PATENTERAMERA skrev:
Har du förstått resonemanget som jag och AI:n gör?

Ja om jag förstår detta korrekt så är temperaturen konstant i tiden och även energin i cylindern också vid stationärt tillstånd. Detta innebär att fouriers lags ger värmeffekt ut vid hela ytan om man är multiplicerar med cylinders arean och sätter lika med k0. Men jag vill på något sätt utnyttja värmeledningsekvation för att sätta upp detta, hur gör man den?

Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Har du förstått resonemanget som jag och AI:n gör?

Ja om jag förstår detta korrekt så är temperaturen konstant i tiden och även energin i cylindern också vid stationärt tillstånd. Detta innebär att fouriers lags ger värmeffekt ut vid hela ytan om man är multiplicerar med cylinders arean och sätter lika med k0. Men jag vill på något sätt utnyttja värmeledningsekvation för att sätta upp detta, hur gör man den?

Är inte värmeledningsekvationen som ger randvillkoret. Är bara kontinuitetekvationen på integralform.

Tag en volym med ekvationsranden som rand. Sätt att flödet över randen J dot dS är lika med volymintegralen av effektdensiteten K innanför randen. Formeln faller bara ut från det.

Var vad jag skrev i fetstil.

SKAPA ETT RANDVILLKOR SOM MOTSVARAR DETTA. Använd kontinuitetsekvationen att värmeflödet över randen måste vara lika med den totala värmeproduktionen i volymen.

SeriousCephalopod skrev:
Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Har du förstått resonemanget som jag och AI:n gör?

Ja om jag förstår detta korrekt så är temperaturen konstant i tiden och även energin i cylindern också vid stationärt tillstånd. Detta innebär att fouriers lags ger värmeffekt ut vid hela ytan om man är multiplicerar med cylinders arean och sätter lika med k0. Men jag vill på något sätt utnyttja värmeledningsekvation för att sätta upp detta, hur gör man den?

Är inte värmeledningsekvationen som ger randvillkoret. Är bara kontinuitetekvationen på integralform.

Tag en volym med ekvationsranden som rand. Sätt att flödet över randen J dot dS är lika med volymintegralen av effektdensiteten K innanför randen. Formeln faller bara ut från det.

Var vad jag skrev i fetstil.

SKAPA ETT RANDVILLKOR SOM MOTSVARAR DETTA. Använd kontinuitetsekvationen att värmeflödet över randen måste vara lika med den totala värmeproduktionen i volymen.

Jag gjorde något sånt här.