Bestämma vinkelacceleration för en stång

Hej!

Har problem med en b) uppgift från Mekanik Partikeldynamikuppgift 5.5. Har hittat samma fråga tidigare men den hade ingen lösning så ställer den på nytt. 

Skriver ut hur jag löst a) först, men det kan ignoreras då det är b) jag har problem med. 

Uppgift

Lösning

a)

Apan accelererar nedåt med accelerationen $\stackrel{··}{y}$.

Frilägger man apan får man:

$m\stackrel{··}{y}=mg-T$

Där T är linspänningen. Sen tänker jag att den tangentiella accelerationen är: 

$m\stackrel{··}{\theta }r=\stackrel{··}{ym}$ 

Slår ihop dessa och löser för T:

$T =mg-m\stackrel{··}{\theta }r$

Vidare är momentet linspänningen gånger radien:

$M=T*r=mgr-m\stackrel{··}{\theta }{r}^2$

Momentrörelsemängden

$H=2b^2\stackrel{·}{\theta }$

Och 

$M=\frac{dH}{dt}$

Vilket ger:

$mgr-m\stackrel{··}{\theta }{r}^2 =2b^2\stackrel{··}{\theta }$

Löser för $\stackrel{··}{\theta }$:
$\stackrel{··}{\theta }=\frac{gr}{2b^2+r^2}$

Detta är rätt enligt facit.

Vidare till b som jag har problem med.

b)

friläggning av apan ger:

-$m\stackrel{··}{y}=mg-T$

Där 

$m\stackrel{··}{y}=m\stackrel{··}{\theta }r-ma$

Då apan accelererar uppåt.

Slår ihop dessa och löser för T:

$T=mg-m\stackrel{··}{\theta }r+ma$

Momentet ges av trådspänningen gånger radien:

$M=rm(g-\stackrel{··}{\theta }r+a)$

Sätter in i $M=\frac{dH}{dt}$

$rm(g-\stackrel{··}{\theta }r+a) =2m{b}^2\stackrel{··}{\theta }$

Löser för vinkelacc.

$\stackrel{··}{\theta }=\frac{r(a+g)}{2b^2+r^2}$

Detta är fel enligt facit. Rätt svar ska vara:

$\frac{r(a+g)}{2b^2}$

och jag förstår inte varför.