Bestämma volym samt intervall, ellipsoidformat område

Du har fått fel volym, en ellipsoid med axlarna $a,b,c$ har volymen

$V=\frac{4\pi}{3}abc$

I ditt fall är axlarna $3,6,2$ varför den totala volymen blir

$V=\frac{4\pi}{3}\cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 = 48\pi$

Ditt område $\Omega$ är första oktanten, vilket är en åttondel så stor

$V(\Omega)=\frac{48\pi}{8}=6\pi$

Det finns olika sätt att parametrisera $\Omega$. Ett enkelt sätt är att låta $r$ gå från $0$ till $1$ och använda

$x=3r\sin(\theta)\cos(\phi)$

$y=6r\sin(\theta)\sin(\phi)$

$x=2r\cos(\theta)$

Men vad blir vinkelintervallen för den första oktanten? (Du har inte riktigt fått $\theta$ rätt). Kontrollera sedan att volymen blir $6\pi$ och gå vidare med att beräkna de angivna integralerna. Tänk på att Jacobideterminanten inte är "den vanliga" $r^2sin(\theta)$ utan har en annan skalfaktor.

Det går självklart också att låta $r$ löpa från $0$ till $6$, men då måste du skala om parameterframställningen ovan.

Tack för svaret! Vi lyckades lösa uppgiften nu.