3 svar
69 visningar
Albiki 5028
Postad: 25 okt 2020

Bestämmer kvadratiska former linjära transformationer?

Om VV är ett komplext inre-produktrum och AA är en linjär transformation på VV så är den inre produkten (Ax,x)(Ax,x) en kvadratisk form. Frågan är om det omvända gäller, det vill säga finns det en nollskild linjär transformation AAVV sådan att (Ax,x)=0(Ax,x) = 0 för alla xVx\in V?

AlvinB 3847
Postad: 25 okt 2020

Svaret måste väl ändå vara nej.

Frågan är väl ekvivalent med att finna en nollskild matris AA så att den kvadratiska formen xAxx^\intercal Ax är lika med noll för samtliga xVx\in V. Att den kvadratiska formen är lika med noll för alla xx innebär emellertid att samtliga koefficienter i den kvadratiska formen är noll, vilket i sin tur innebär att alla element i AA måste vara noll. Det kan alltså inte finnas någon nollskild avbildning som uppfyller att Ax,x=0\langle Ax,x\rangle =0 för alla xVx\in V.

Albiki 5028
Postad: 25 okt 2020

Ja, det ser övertygande ut i det ändligtdimensionella fallet. Men hur blir det om VV är oändligtdimensionellt vektorrum? Blir det inte problematiskt att prata om matriser av typ ×\infty\times \infty? Vilken oändlighet avses då?

AlvinB 3847
Postad: 25 okt 2020
Albiki skrev:

Ja, det ser övertygande ut i det ändligtdimensionella fallet. Men hur blir det om VV är oändligtdimensionellt vektorrum? Blir det inte problematiskt att prata om matriser av typ ×\infty\times \infty? Vilken oändlighet avses då?

Det är sant. Man behöver nog ett annat resonemang för det fall då VV är av oändlig dimension.

Svara Avbryt
Close