Bestämning av en rektangels största möjliga area

Jag har kört fast med en uppgift och skulle behöva lite hjälp. Uppgiften lyder: "Två av hörnen i en rektangel finns på linjen x=1 och de andra två finns på grafen x^2+y^2=1. Bestäm rektangelns största möjliga area."

Jag har ritat upp enhetscirkeln och den vertikala linjen samt förstått att avståndet mellan y-axeln och den vertikala linjen är 1, men längre än så kommer jag inte. Har en klasskompis som förelsog att jag skulle lösa ut y och sedan derivera, men jag förstår inte varför och skulle verkligen behöva hjälp.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Bra början med att rita.

Kan du visa din skiss?

Den hjälper nämligen till i lösningen.

Snyggt!

Med dina beteckningar så är rektangelns längd alltså x+1, eller hur?

Eftersom de vänstra hörnen ligger på cirkeln så kan du nu ta fram ett uttryck för rektangelns höjd, uttryckt i x.

Gör det och bilda sedan ett uttryck för arean som enbart beror av x.

Tack!

Ja precis, längden blir x+1 och jag får höjden till $\sqrt{1 - x^2}$ genom att bryta ut y från enhetscirkelns funktion.

Får därmed $A = (x + 1) (\sqrt{1 - x^2})$ . Är det här jag ska derivera för att ta reda på största möjliga area? Hur ska jag veta vilket värde på x jag ska sätta in isåfall?

Såhär gjorde jag, men är lite osäker på om jag tänkt rätt.

Tillägg: är lite extra osäker på deriveringen och om jag tänkt rätt med "sträckan" 2y

Det stämmer att rektangelns höjd är 2y, men deriveringen är inte rätt.

Du ska använda produktregeln, dvs om $f=g\cdot h$ så är $f'=g\cdot h'+g'\cdot h$ .

Med $g=x+1$ och $h=2\sqrt{1-x^2}$ får du $g'=1$ och $h'=\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Plocka nu ihop beståndsdelarna till ett uttryck för derivatan.

Resten av tankegångarna är rätt.

Svara

Visa senaste svar