Beteckningar - Vektorer och skalärprodukt och projektionsformeln

Du måste tänka på skillnaden mellan ett vektorer och ett tal. En vektor har både en magnitud och en riktning medan ett tal bara har magnitud. Du kan inte säga $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=3$, det betyder ingenting då en vektor måste ha en riktning. Du kan däremot säga $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=3$, dvs vektorn har längden 3. När du skriver (u+v)(u+v) menar du nog $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)$ vilket är skalärprodukten av två vektorer, inte "vanlig multiplikation". Om du vill beräka uppgiften kan du ha användning av att $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)={\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|}^2+2\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}+{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2$ och $\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|\cos \left(\alpha \right)$ där $\alpha$ är vinkeln mellan de två vektorerna. 

 men om inte lul och vektorn u (allså u med en pil över) är samma sak - hur blir "beräkna lu+vl^2 = (u+v)(u+v) ?

Vet du hur man beräknar en skalärprodukt? Vet du att resultatet inte blir en vektor, utan en skalär (det är därför det heter så)? Vet du hur man beräknar beloppet av en vektor? (Det är samma sak som avståndsformeln som du lärde dig i Ma2.)

Nu tänker jag främst på de metoder när man räknar direkt med siffrorna, utan att ta fram vinkeln. (Annars är det inte särskilt likt avståndsformeln, det måste jag medge.)

Beloppet av en vektor skrivs$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=\sqrt{\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{u}}$, vi kan nu tillämpa detta på vektorn $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|$, vilket ger$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|=\sqrt{\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)}$. Vad får du sedan om du kvadrerar bägge sidor? Jag kan hålla med dig om att notationen är lite förvirrande men det kommer klarna upp när/om du lär dig mer linjär algebra och pratar mer om normer.  Kom dock ihåg som jag skrev i mitt första svar att (u+v)(u+v) som du skriver det inte är vanlig multiplikation utan det är skalärprodukten. Jag visar lite noggrannare, först har du $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)=\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}·\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ där jag har multiplicerat ut paranteserna på vanligt sätt men observera att det är skalärprodukten mellan två vektorer. Sen kan vi använda att $\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{u}={\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|}^2$ och samma sak för $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ och att ordningen på skalärprodukten inte spelar någon roll, dvs $\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{v}·\stackrel{\rightharpoonup }{u}$. Då får du $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)·\left(\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right)={\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|}^2+2\stackrel{\rightharpoonup }{u}·\stackrel{\rightharpoonup }{v}+{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}^2$ som du kan använda för att lösa uppgiften.