Bevis

Utan att ha gjort uppgiften tycker jag att det ser ut att vara upplagt för ett induktionsbevis.

Det ser ut som du missat att skriva vilket tal som ska vara en delare till uttrycket du skrev.

helt rätt, 7an försvann från uppgiften.

Har du testat med smaragdalenas förslag?

Hej!

Eftersom påståendet du vill bevisa har att göra med de naturliga talen så är det lämpligt att använda ett Induktionsbevis. Ett sådant bevis består av fyra steg.

Steg 1: Visa att påståendet är sant då $n=1.$

Steg 2: Anta att påståendet är sant för ett naturligt tal $n.$

Steg 3: Visa att påståendet är sant för nästa naturliga tal $n+1.$

Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla naturliga tal som är större än $1.$

Albiki 

Redigerat efter påpekande från Smaragdalena om att Steg 1 handlar om n=1 och inte n=7, som jag tidigare skrev.

okej jag ser att med n=1 får vi ingen rest då vi får 21/7=3

stoppar jag in värden n=2 får jag inte heller någon rest utan 273/7=39 med n=3 får jag inte heller någon rest

Kan jag då konstatera att 7 alltid är en delare?

Nej det kan du inte, har du utfört ett induktionsbevis någon gång?

nej det är jag inte riktigt med på tyvärr

Albiki skrev :

Hej!

Eftersom påståendet du vill bevisa har att göra med de naturliga talen så är det lämpligt att använda ett Induktionsbevis. Ett sådant bevis består av fyra steg.

Steg 1: Visa att påståendet är sant då $n=1.$

Steg 2: Anta att påståendet är sant för ett naturligt tal $n.$

Steg 3: Visa att påståendet är sant för nästa naturliga tal $n+1.$

Steg 4: Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla naturliga tal som är större än $1.$

Följ Albikis utmärkta sammanställning steg för steg:

Steg 1 har du redan gjort.

Steg 2 är bara att anta att det är sant för ett godtyckligt naturligt tal n.

Gå vidare och försök göra steg 3.

det blev väl steg 3 jag gjorde då jag satte n=3 eftersom jag i steg 2 hade n=2, och jag fick att det inte blev någon rest i n=2 eller n=3

I steg 2 så antar man att det är sant att 7 delar uttrycket $4^{2^n}+2^{2^n}+1$, sedan nästa steg så vill man under antagandet i steg 2 visa att 7 delar uttrycket $4^{2^{n + 1}}+2^{2^{n + 1}}+1$. Det sista uttrycket kan du försöka förenkla under mod 7.

Det behövs inget induktionsbevis.

Gå tillbaka till dina uträkningar för n=1,2,3 och se på termerna var för sej modulo 7. För n=1 blir det 2+4+1 eftersom 16=2 mod 7. För n=2 ska  termerna kvadreras och man får 4+2+1. För n=3 blir det 2+4+1 så mönstren upprepas.

Fast är inte det där i princip ett "dolt" induktionsbevis Henrik, skriver man alltså ut det så formellt man kan så får man ett induktionsbevis. Det gäller alltså att

$4^{2^{n + 1}}+2^{2^{n + 1}}+1 \equiv {16}^{2^n}+4^{2^n}+1 \equiv 2^{2^n}+4^{2^n}+1 \equiv 4^{2^n}+2^{2^n}+1 (mod 7)$

Under antagandet i steg 2 så följer det att det högra uttrycket är kongruent med noll mod 7, så det följer alltså att detta är delbart med 7 på grund av induktionsaxiomet.

B.N. skrev :

det blev väl steg 3 jag gjorde då jag satte n=3 eftersom jag i steg 2 hade n=2, och jag fick att det inte blev någon rest i n=2 eller n=3

Nej, du skulle ha satt in (n+1) på varje ställe där det står n i ditt uttryck och bevisa att OM påståendet är sant för n så är det OCKSÅ sant för n+1. I så fall gäller det för n = 2 (eftersom det var sant för n = 1), för n = 3 (eftersom det var sant för n = 2), för n = 4 eftersom...

Stokastisk skrev :

Fast är inte det där i princip ett "dolt" induktionsbevis Henrik, skriver man alltså ut det så formellt man kan så får man ett induktionsbevis. Det gäller alltså att

$4^{2^{n+1}}+2^{2^{n+1}}+1\equiv {16}^{2^n}+4^{2^n}+1\equiv 2^{2^n}+4^{2^n}+1\equiv 4^{2^n}+2^{2^n}+1(mod7)$

Under antagandet i steg 2 så följer det att det högra uttrycket är kongruent med noll mod 7, så det följer alltså att detta är delbart med 7 på grund av induktionsaxiomet.

okej, så det blir alltså svaret?, jag är inte helt med på stegen här, första steget är alltså steg 3 (n+1) nästa steg har du alltså kvadrerat basen 4 och 2 för steg 2, sedan har vi de ursprungliga talen. Varför har vi enbart kvadrerat basen i steg 2? det är jag inte helt med på.

Om man ska vara mer tydlig med hur man gör med de olika stegen, så ser beviset ungefär ut så här

Basfallet: Det gäller att $4^{2^1}+2^{2^1}+1 =\hspace{0.17em}16 + 4 + 1 = 21$ vilket är delbart med 7.

Induktionsantagandet: Vi antar att $4^{2^n}+2^{2^n}+1\equiv 0 (mod 7)$ gäller för ett godtyckligt heltal $n \ge 1$.

Induktionssteget: I detta steg så vill vi visa att givet induktionsantagandet så gäller det att $4^{2^{n + 1}}+2^{2^{n + 1}}+1 \equiv 0 (mod 7)$. För att göra det så gör vi så här

$$\begin{gathered} 4^{2^{n + 1}}+2^{2^{n + 1}}+1\equiv 4^{2·2^n}+2^{2·2^n}+1\equiv (4^2{)}^{2^n}+(2^2{)}^{2^n}+1\equiv {16}^{2^n}+4^{2^n}+1 \\ \equiv 2^{2^n}+4^{2^n}+1 \equiv (enligt induktionsantagandet) \equiv 0 (mod 7) \end{gathered}$$

Av detta så följer det att det att uttrycket är delbart med 7 för alla positiva heltal n. Försök övertyga dig om detta (eller fråga om något är oklart).