Bevis
Visa med motsägelsebevis att om x är lösning till ekvationen
x3 + 3x2 + 7x + 2 = 0
så är x < 0.
Motsägelse: x > 0
Om vi sätter att x= -1 i uttrycket:
-1 + 3 -7 +2 = -3
-3 0
V.L är alltså inte = H.L.
Räcker detta som bevis? Hur är det egentligen bevisat nu?
Jag skulle gjort så här:
x3 + 3x2 + 7x + 2 = 0 ==> x<0 (1)
är ekvivalent med
x≥0 ==> x3 + 3x2 + 7x + 2 =!= 0 (2)
Sätt p(x)=x3 + 3x2 + 7x + 2
p'(x)=3x^2+6x+7=3(x+1)^2+4>0 för alla x och speciellt för x≥0
Alltså är p(x) str. väx. för x≥0 och därmed är p(x)≥p(0)=2 d.v.s. p(x)=!=0 för alla x≥0.
Därmed är (2) visad och därmed är (1) visad.
Tack
Men om man vill göra som #1, funkar det? Hur är det isåfall bevisat?
Du föreslår en metod att ta ett specifikt x≥0 (du tar x=-1, men det är nog bara ett feltänk) och sedan se om polynomet ≠0. Om du får ≠0 för just detta x, hur vet du att det inte finns ett annat x≥0 som ger polynomet=0? En punkt ger ingen garanti för att det inte finns något annat x≥0 som skulle ge =0.
I problemtexten krävs ett Motbevis. Det kan se ut som följer:
Låt p(x) =0 vara den givna ekvationen. Antag att x>0. Då inga negativa koefficienter finns i p(x) så är varje term >0. Således är p(x)>0 vilket strider mot påståendet att p(x)=0. En motsägelse som visar att x<0.
Trinity2, ja det var sent så blev lite slarvigt.
Tack för er hjälp!
