8 svar
153 visningar
emhe är nöjd med hjälpen
emhe 27
Postad: 29 okt 2019 12:32

Bevis av √2

Hej!
Jag förstår inte riktigt resonemanget med den här frågan: 

√2 är ett irrationellt tal, dvs kan inte skrivas som ett rationellt tal ab.
(a och b är heltal, b≠0)

Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis.
Anta att √2=ab där a och b är heltal och ab är förkortat så långt det går.

Kvadrering av uttrycket ger: 2=a^2b^2, vilket ger 2b^2=a^2 dvs a^2 och a är delbara med 2.

Sätter vi a=2k ger det 2b^2=4k^2 vilket kan skrivas b^2=2k^2, dvs också b måste vara delbart med 2.

Vi får en motsägelse mot vårt antagande, √2 måste vara irrationellt.

a)Förklara varför både a^2 och a är delbart med 2 om 2b^2=a^2 (a och b är heltal).  
b)Varför får vi en motsägelse?

Tack för hjälp! 

Smaragdalena Online 54385 – Lärare
Postad: 29 okt 2019 12:51

Hur långt har du kommit själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator

emhe 27
Postad: 29 okt 2019 13:02

Hej! Inte långt alls. Mitt primära problem var nog att jag inte riktigt förstår hur jag ska börja tolka frågan. Eller varför man i frågan gör som man gör. 

Men nu har jag tittat lite mer på frågan och förstår varför a och a^2 är jämnt vilket är för att de är delbara med 2. Alla heltal som är delbara med 2 måste vara jämna, ett udda tal som delas med 2 är ≠ helt heltal. 

a = 2k är en substitution vilket leder till att 2k*2k = 4k^2 i ekvationen. Delar man det med 2 så blir ju b^2 också jämnt med två. 

Men jag förstår inte varför det leder till en motsägelse? Hur uttrycker man motsägelsen? 

Smaragdalena Online 54385 – Lärare
Postad: 29 okt 2019 13:42

Du måste ha skrivit av uppgiften lite fel, eller hur? Visst stod det att "2=ab\sqrt2=\frac{a}{b} där a och b är heltal och a/b är förkortat så långt det går"?

Du har allså kommit fram till att aär ett  jämnt tal och att b är ett jämnt tal. Det borde allså gå att förkorta kvoten a/b med två, eller hur?

Vad var det det stod om kvoten a/b i förutsättningarna?

emhe 27
Postad: 29 okt 2019 13:57

Ja, förlåt. Det måste ha blivit fel när jag copy paste frågan. ab ska vara i bråkform så som du har skrivit det (a/b). 

Så a och b är jämna tal och det ska gå att förkorta kvoten med a/b med 2. 

Innebär det att b = 0? och därför är det en motsägelse? Eftersom man inte kan ha ett bråk där nämnaren är noll. 

Smaragdalena Online 54385 – Lärare
Postad: 29 okt 2019 14:15

Nej. Du har kommit fram till att både a och b är jämna tal, d v s båda är delbara med 2. Samtidigt har vi från förutsättningarna att a/b är förkortat så långt det går, d v s att de inte har några gemensamma faktorer (t ex inte faktorn 2). Ser du motsägelsen?

emhe 27
Postad: 30 okt 2019 17:24

Så motsägelsen är att frågan utgår ifrån att bråket a/b är förkortat så långt det går, men ändå kan man i beviset dela bråket med 2 eftersom båda talen är jämna? 

 

Sen kom jag på en fråga till. I frågan står det att 2=a^2b^2, ger 2b^2=a^2. Varför divideras inte 2 med b^2 när man flyttar över till andra sidan om =? 

emhe skrev:

Så motsägelsen är att frågan utgår ifrån att bråket a/b är förkortat så långt det går, men ändå kan man i beviset dela bråket med 2 eftersom båda talen är jämna? 

Ja det stämmer. Motsägelsen är att bråket inte kan vara förkortat så långt det går.

Sen kom jag på en fråga till. I frågan står det att 2=a^2b^2, ger 2b^2=a^2. Varför divideras inte 2 med b^2 när man flyttar över till andra sidan om =? 

Det står väl inte så i frågan, det står väl att 2 = a^2/b^2?

emhe 27
Postad: 30 okt 2019 17:50

Se där, även det blev borttappat när jag copy + paste. Men då förstår jag! Tack så mycket för er hjälp! 

Svara Avbryt
Close