Bevis av att ortogonal projektion minimerar avståndet

Hej,

Hänger inte riktigt med på steget i slutet:

${||v-x||}^2\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{||v-w+w-x||}^2\hspace{0.17em}=\left\{Pythagoras\right\}=\hspace{0.17em}{||v-w||}^2+{||w-x||}^2\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{Triangelolikheten\right\}\hspace{0.17em}\ge {||v-w||}^2$

Borde inte det rödmarkerade bli: ${||v-w||}^2+{||w-x||}^2 \ge {||(v-w)+(w-x)||}^2 =\hspace{0.17em}{||v-x||}^2$ ?

Ska jag tolka det som att vi utgår från att x är den vektor som minimerar avståndet och att vi sen visar att givet att den är det så måste x = w? (Är säkert underförstått men vill vara säker).

Om det är så som jag tänker så tycker jag det ser logiskt ut då det ger likhet i hela uttrycket.

Tack på förhand!