0 svar
88 visningar
Lunatic0 76
Postad: 10 okt 2019 19:51 Redigerad: 10 okt 2019 19:55

Bevis av en olikhet

Edit: fixade några slarvfel.

 

Uppgiften lyder:

Visa att 

               xy+2x2y2x2+y2+xy3

för alla 0x10y1

 

Så länge har jag utfört ett bevis men vet inte om den är giltig eller godtagbar och har problem med att identifiera vilket typ av bevis den är (motsägelse, direkt, eller något annat). Jag tycker att den är direktbevis.

Detta är beviset:

xy+2x2y2x2+y2+xy32x2y2-xy3x2+y2-xy2x2y2-xy3(x-y)2+xy

2x2y2-xy3-xy(x-y)2

(x-y)2 kommer alltid att vara positivt om inte 0 eftersom den är en kvadrerad polynom. Man kan då inse att 

(x-y)2min=0 och (x-y)2max=1 (då x=0 och y=1 eller tvärtom). Alltså värdet för (x-y)2 ligger i intervallet ]0, 1[.

Påstående:

 Uttrycket 2x2y2-xy3-xy kommer aldrig att bli positivt. Alltså xy3+xy2x2y2

xy3+xy2x2y2y2+12xyy2+1y2x1y+y2x

Det största värdet som 2x kan anta i detta fall är 2 och den minsta 0 (0x1), 1y+1, å andra sidan, har minimivärde 2 då y=1 och uttryckets värde växer oändligt ju mindre y blir, alltså, olikheten xy3+xy2x2y2 är sant och däremot är påståendet att 2x2y2-xy3-xy0 bevisad.

Med påståendet bevisad vet man att vänsterledet i olikheten 2x2y2-xy3-xy(x-y)2 har maximivärdet 0, däremot är minimivärdet mindre än eller lika med 0. Eftersom högra ledet har alltid ett värdet som är antingen större eller lika med den som vänsterledet får så kan man säga att högerledet är alltid större än eller lika med vänsterledet. Däremot är uppgiften bevisad. V.S.B. 

Svara Avbryt
Close