Bevis av identitet för en funktion med två egenskaper

Man vill hitta något samband mellan $\int_1^T f(t)\,dt$ och en integral där både övre och undre integrationsgränserna innehåller $T$ med ett fixt förhållande, t.ex. $\int_{T/2}^{T} f(t)\,dt$ m.h.a. monotonitet av $f$, så att man kan utnyttja monotonitet till fullo.

Antag att $f(t) \ge 0$  för alla $t\ge 1$. (och $T>2$)

Då gäller att $\displaystyle \int_1^T f(t)\,dt \ge \int_{T/2}^T f(t)\,dt$ då integrationsintervallet har minskat.

Å andra sidan gäller att $f(t) \le f(T/2)$ för alla $t \in [1, T/2]$ medan $f(T/2) \le f(t)$ för alla $t \in [T/2, T]$, så

$\displaystyle \int_1^{T/2} f\left(t\right)\,dt \le \int_1^{T/2} f(\frac{T}{2})\,dt =(\frac{T}{2} - 1) f(\frac{T}{2}) \le \frac{T}{2}  f(\frac{T}{2}) \le \int_{T/2}^T f(\frac{T}{2})\,dt \le \int_{T/2}^T f\left(t\right)\, dt$.

Därmed är $\int_1^T f\left(t\right) \,dt \le \int_1^{T/2} f\left(t\right)\,dt + \int_{T/2}^T f\left(t\right)\,dt \le 2 \int_{T/2}^T f\left(t\right)\,dt$.

Man har nu visat dubbelolikheten $\displaystyle  \int_{T/2}^T f\left(t\right)\,dt \le \int_{1}^T f\left(t\right)\,dt \le 2 \int_{T/2}^T f\left(t\right)\,dt$.

Tack vare monotonitet av $f$, så kan man göra uppskattningen $\displaystyle \frac{T}{2} f(\frac{T}{2}) \le \int_{T/2}^T f\left(t\right)\,dt \le \frac{T}{2} f\left(T\right)$.

När dessa två dubbelolikheter kombineras så får man att $\displaystyle \frac{T}{2} f(\frac{T}{2}) \le \int_{1}^T f\left(t\right)\,dt \le T f(T)$.

När alla led nu divideras med $T^2$, så får man att $\displaystyle \frac{f(T/2)}{2T} \le \frac{1}{T^2} \int_{1}^T f\left(t\right)\,dt  \le \frac{f(T)}{T}$.

Därmed gäller att

$\displaystyle \limsup_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T} = \limsup_{T\to\infty} \frac{f(T/2)}{T/2} = 4 \limsup_{T\to\infty} \frac{f(T/2)}{2T}\le 4 \limsup_{T\to\infty} \frac{1}{T^2} \int_{1}^T f\left(t\right) = 4 \cdot 1 = 4$

och

$\displaystyle \liminf_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T} \ge  \liminf_{T\to\infty} \frac{1}{T^2} \int_{1}^T f\left(t\right)\,dt = 1$.

Sammanlagt är

$\displaystyle 1 \le \liminf_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T} \le \limsup_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T} \le 4$.

Om man nu har $T^{1+k}$ i nämnaren med $k > 0$, så är

$\displaystyle \lim_{T\to \infty} \frac{1}{T^k} \le \liminf_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T^{1+k}} \le \limsup_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T^{1+k}} \le \lim_{T\to \infty} \frac{4}{T^k}$,

vilket visar att

$\displaystyle \lim_{T\to\infty} \frac{f(T)}{T^{1+k}} = 0$ för varje $k > 0$.

Fantastiskt svar. Tack så mycket. Jag tror inte jag har några frågor nu men återkommer isåfall.😊