Bevis av taylors formel av andra ordningen i två variabler

Vad har du för kurslitteratur?

Andra ordningens taylorutveckling av en funktion $f(x,y)$ kring en punkt $(a,b)$ lyder ju som bekant:

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f'_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f'_y\left(a,b\right)\left(y-b\right)+\dfrac{1}{2}(f''_{xx}\left(a,b\right)\left(x-a\right)^2+2f''_{xy}\left(a,b\right)\left(x-a\right)\left(y-b\right)+f''_{yy}\left(a,b\right)\left(y-b\right)^2)$

Det beviset jag känner till bygger på att man parametriserar ett linjesegment $\mathbf{r}(t)=(a+t(x-a),b+t(y-b))$ från punkten $(a,b)$ till punkten $(x,y)$. Man inser då att $f(x,y)=f(\mathbf{r}(1))$. Sedan använder man Taylorutveckling i en variabel på funktionen $g(t)=f(\mathbf{r}(t))$ och får:

$g\left(t\right)\approx g\left(0\right)+g'\left(0\right)t+\dfrac{g''(0)}{2}t^2$

Sätter man sedan in $t=1$ får man en approximation för $f(x,y)$:

$f\left(x,y\right)=g\left(1\right)\approx g\left(0\right)+g'\left(0\right)+\dfrac{g''(0)}{2}$

Sedan gäller det alltså bara att ta reda på $g(0)$, $g'(0)$ och $g''(0)$. Detta kan göras med kedjeregeln i flera variabler. Ser du hur?