12 svar
96 visningar
Qetsiyah är nöjd med hjälpen!
Qetsiyah 1271
Postad: 21 sep 2019 Redigerad: 21 sep 2019

Bevis av trigonometriska identiteter, får inte manipulera båda led samtidigt?

Hej, min förra mattelärare var av den (väldigt envisa) åsikten att man inte får algebraiskt manipulera både högerled och vänsterled samtidigt för att komma fram till ett uttryck där VL=HL. Så tycker inte jag, inte alls. Jag pratar här enbart om matematisk sanning, inte om någons smak/vana i frågan. Vad tycker ni?

Det jag hittills kommit fram till på egen hand är att det går att göra fel, till exempel: Bevisa 2=3, multiplicera båda leden med 0. Eftersom 0=0 är ett sant påstående så är även 2=3 ett sant påstående. Vad har egentligen hänt?

Denna sida säger att man inte kan det: https://www.purplemath.com/modules/proving.htm 

Svaret med flest poäng på denna tråd https://math.stackexchange.com/questions/101053/why-is-it-that-when-proving-trig-identities-one-must-work-both-sides-independen säger ja.

AlvinB 3395
Postad: 21 sep 2019 Redigerad: 21 sep 2019

Det är klart att du får det, men tänk då på att det finns vissa manipulationer "förstör likheten" (t.ex. att multiplicera med noll). Om man då manipulerar båda led samtidigt tycker jag att man skall motivera att alla de manipulationer man gör är saker som går att göra baklänges och inte "förstör likheten". Mer rigoröst skall du då motivera varför det råder ekvivalens mellan alla dina steg (denna ekvivalens tappar du om du t.ex. multiplicerar med noll, eftersom x=y0=0x=y\Rightarrow 0=0 men 0=00=0 inte nödvändigtvis implicerar x=yx=y).

När du ställer upp det så att du får direkt likhet mellan högerled och vänsterled visar du att det går att göra alla nödvändiga manipulationer i riktningen som krävs för beviset. Då behövs inga extra motiveringar om ekvivalenser, vilket är varför det är det vanliga sättet att ställa upp det på.

Rent matematiskt är det väl ingen fara, givet att alla regler för implikation/ekvivalens etc. följs, men det ser ju snyggare ut om  du går från A till C, istället för att gå från A till B och från C till B. Däremot är det ofta lättare att börja ett bevis genom att nysta lite i båda ändar, men när det är gjort är det ju lätt att gå åt ett och samma håll när man renskriver svaret. :)

Dr. G Online 4882
Postad: 21 sep 2019

Du har själv hittat exemplet med multiplikation med 0, som visar att det är farligt att manipulera leden, trots att man gör "samma sak" med VL och HL.

Så länge du gör operationer som har invers så är det ofarligt att manipulera båda led, eftersom man då alltid kan gå tillbaka.

Multiplikation med 0 saknar invers.

Addition med godtyckligt tal har invers.

Multiplikation med tal ≠ 0 har invers.

 

Angående tycke och smak så är beviset när man utgår från VL och aldrig förändrar dess värde och tillslut hamnar på HL helt klart det snyggaste för att visa att VL = HL.

 Vad har egentligen hänt?

Vad som har hänt? Du har bevisat att din mattelärare hade rätt.

PATENTERAMERA 685
Postad: 21 sep 2019 Redigerad: 21 sep 2019

Jag tycker svaren var mycket bra.

Qetsiyah 1271
Postad: 21 sep 2019 Redigerad: 21 sep 2019

PATENTERAMERA: Min mattelärare sa att man måste ta ett av leden och manipulera bara den för att komma fram till HL=VL, det håller jag inte med om och AlvinB och Pepparkvarn och Dr. G håller med mig om det.

Smaragdalena: det är ett exempel på hur man kan göra fel, med operationer som inte har inverser, som Dr. G uttryckte det. Har du några andra argument för att min lärare har rätt som du vill utvecka?

Dr. G och AlvinB: Ah, okej, jag hade det på känn, men ni satte ord på det. Kvadrater och rötter som i detta samanhang är viktigt, går de att använda utan risk för fel?

Följdfråga på tal om ekvivalens och implikation, är mitt påstående en implikation? 3=2 => 0=0? 

Dr. G Online 4882
Postad: 21 sep 2019

Kvadrering har invers, ibland...

Om du t.ex vet att det är positiva tal så är det ju lugnt. 

Om inte, så kan du hamna i en situation där

VL = 1, HL = -1

(VL)^2 = (HL)^2

men

VL ≠ HL

Jag tycker att alla andra har uttryckt det hela mycket bättre än vad min något tillspetsade kommentar gjorde.

Qetsiyah 1271
Postad: 21 sep 2019

Åh ja, så klart!

parveln Online 359
Postad: 22 sep 2019 Redigerad: 22 sep 2019

Jag tror min mattelärare nämnde att det i rättningsmallen för gymnasiets nationella prov fanns en rubrik som handlade om att inte manipulera båda led samtidigt. Om man gjorde det kunde man alltså inte nå maxpoäng på frågan. Oerhört dumt eftersom det, som nämnts tidigare i tråden, är fullt tillåtet. 

Yngve 13392 – Mattecentrum-volontär
Postad: 22 sep 2019 Redigerad: 22 sep 2019
Qetsiyah skrev:

...

Följdfråga på tal om ekvivalens och implikation, är mitt påstående en implikation? 3=2 => 0=0? 

En implikation är ett påstående av formen "Om A så B". Påståendet säger att om A är sann så måste B vara sann.

På samma sätt som ett påstående kan vara sant eller falskt så har en implikation ett sanningsvärde.

Implikationen A => B uttrycker ett sant påstående i alla fall förutom i det fallet att A är sann och B är falsk.

--------

Ditt påstående är följande: "Om 2=3 så gäller att 0=0". 

Svaret på din fråga är alltså: Ja, påståendet är en implikation.

Den fråga du inte ställde är följande: "Är implikationen sann?"

I ditt fall är A det falska påståendet "2=3" och B är det sanna påståendet "0=0", dvs implikationen lyder "Falskt" => "Sant".

Detta medför att implikationen är sann.

(Däremot är implikationen (0=0) => (2=3) falsk.)

Qetsiyah 1271
Postad: 22 sep 2019

parveln: Ja, det sa min mattelärare också. 

Yngve: mm okej. Jag ser fram emot att få lära mig om sånna där formaliteter och logik i envariabel (även om det bara finns lite), jag börjar på den om några veckor. 

Svara Avbryt
Close