5 svar
89 visningar
mrlill_ludde behöver inte mer hjälp
mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2018 09:30

Bevis: Definiera begreppet analytisk funktion ovh vis att den komplexa derivatan esxisterar omm ,,,

Vill bara veta om jag tänker rätt....

 

Def analytsik funktion: Låt funktionen a+bia+bi vara av klass C1C^1 den är analytisk omm den uppfyller Cacuhy-Reimanss ekvationer.

Sats ang den komplexa derivatan: Låt  f vara en funktion så att dess realdel u(x,y)u(x,y) och imaginärdel v(x,y)v(x,y) är av klass C1C^1 som funktioner av x,yx,y. Om  den komplexa derivatan $$f'(z) = \lim h -> 0 \frac{f(z+h) - f(z)}{h}$$ Existerar, om de uppfyller Cachy-Reimanns ekvationerna.

Bevis:

Om vi börjar med att titta på imaginära delen: hh kommer alltid att gå mot 0 här, skriver bara inte ut det.

f'(z)=limh->0f(z+hi)-f(z)hi=u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)hif'(z) = \lim h -> 0 \frac{f(z+hi) - f(z)}{hi} = \frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{hi}

$$\frac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{hi}  = \frac{i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{h}$$

Där -i-i kommer från i2=-1i^2 = -1

Alltså -idudy+dvdy-i\frac{du}{dy}+ \frac{dv}{dy}

Och hos reala delen då delen då:

f'(z)=limh->0f(z+h)-f(z)h=u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)hf'(z) = \lim h -> 0 \frac{f(z+h) - f(z)}{h} = \frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{h}

$$\frac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{h}  $$ Alltså dudx+idvdx\frac{du}{dx}+ i\frac{dv}{dx}

Så alltså

dudx±dvdy\frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dy}

-----------------------

Tänker jag rätt? Eller har jag gjort något fel någonstans? (tänk att detta är en tenta-fråga så var kritiska)

AlvinB 4014
Postad: 27 dec 2018 11:34

Här är det jag tänker på:

Det första du bör göra är att skriva ut vad alla dina beteckningar betyder. Bara ett enkelt "Låt f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)" gör allting mycket enklare att förstå. Försök även att hålla dig till beteckningarna i uppgiften. I uppgiften väljer man nämligen v(x,y)v(x,y), inte w(x,y)w(x,y).

Om vi börjar med att titta på imaginära delen: hh kommer alltid att gå mot 0 här, skriver bara inte ut det.

f'(z)=limh0f(z+hi)-f(z)hi=u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)hif'(z)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(z+hi)- f(z)}{hi}=\frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{hi}

u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))hi=i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))h\dfrac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{hi}=\dfrac{i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))}{h}

  • Om du lägger till hihi är det väl imaginärdelen (y) som borde öka med hh, inte realdelen (x)?
  • Varför är det ett minustecken framför iw(x,y)iw(x,y)? Det är ju en parentes framför.
  • Vad händer på andra raden? Varför försvinner ii:et i nämnaren och dyker upp på den ena termen i täljaren?
  • Hur leder dig detta till -iuy+vy-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}? Det är ju särskilt underligt att derivatorna är med avseende på yy eftersom det står u(x+h,y)u(x+h,y) och w(x+h,y)w(x+h,y) i ditt uttryck.

Så alltså

dudx±dvdy\dfrac{du}{dx} \pm \dfrac{dv}{dy}

Vad betyder detta? Hur visar detta att derivatorna uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer? Det är viktigt att vara tydlig med att tydligt demonstrera att man kommit fram till det man ska visa.

Som jag förstår det använder du dig av en liknande strategi som Wikipedia gör. Då bör du vara uppmärksam på att detta visar att det är nödvändigt för en analytisk funktion att uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer, men inte det omvända, d.v.s. att en funktion är analytisk ifall den uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer (vilket du borde göra i och med att det står 'om och endast om' i uppgiften).

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2018 12:51
AlvinB skrev:

Här är det jag tänker på:

Det första du bör göra är att skriva ut vad alla dina beteckningar betyder. Bara ett enkelt "Låt f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)" gör allting mycket enklare att förstå. Försök även att hålla dig till beteckningarna i uppgiften. I uppgiften väljer man nämligen v(x,y)v(x,y), inte w(x,y)w(x,y).

Om vi börjar med att titta på imaginära delen: hh kommer alltid att gå mot 0 här, skriver bara inte ut det.

f'(z)=limh0f(z+hi)-f(z)hi=u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)hif'(z)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(z+hi)- f(z)}{hi}=\frac{u(x+h,y)+wi(x+h,y)-(u(x,y)-wi(x,y)}{hi}

u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))hi=i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))h\dfrac{u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y-w(x,y))}{hi}=\dfrac{i(u(x+h,y)-u(x,y)+i(w(x+h,y)-w(x,y))}{h}

  • Om du lägger till hihi är det väl imaginärdelen (y) som borde öka med hh, inte realdelen (x)?
  • Varför är det ett minustecken framför iw(x,y)iw(x,y)? Det är ju en parentes framför.
  • Vad händer på andra raden? Varför försvinner ii:et i nämnaren och dyker upp på den ena termen i täljaren?
  • Hur leder dig detta till -iuy+vy-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}? Det är ju särskilt underligt att derivatorna är med avseende på yy eftersom det står u(x+h,y)u(x+h,y) och w(x+h,y)w(x+h,y) i ditt uttryck.

Så alltså

dudx±dvdy\dfrac{du}{dx} \pm \dfrac{dv}{dy}

Vad betyder detta? Hur visar detta att derivatorna uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer? Det är viktigt att vara tydlig med att tydligt demonstrera att man kommit fram till det man ska visa.

Som jag förstår det använder du dig av en liknande strategi som Wikipedia gör. Då bör du vara uppmärksam på att detta visar att det är nödvändigt för en analytisk funktion att uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer, men inte det omvända, d.v.s. att en funktion är analytisk ifall den uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer (vilket du borde göra i och med att det står 'om och endast om' i uppgiften).

 Så när man kommer till att se om de uppfyller CR-ekvationer. Så

räcker det med all dessa ekvationer, "bara" att skriva

AlvinB 4014
Postad: 27 dec 2018 12:55

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2018 13:04
AlvinB skrev:

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

 Okej. =) Tack!

Men ja, varför är dom lika då? För de tar ut varanN?

AlvinB 4014
Postad: 27 dec 2018 13:29
mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:

Ja, något liknande det där skulle du kunna ha som avslutning på beviset. Möjligtvis skulle man kunna motivera varför real- och imaginärdelarna är lika om man inte redan gjort det tidigare i beviset.

 Okej. =) Tack!

Men ja, varför är dom lika då? För de tar ut varanN?

 Nja, det är ju så att värdet du får när du närmar dig punkten parallellt imaginäraxeln måste vara samma som värdet du får när du närmar dig parallellt med realaxeln för att gränsvärdet skall existera. Du har säkert stött på det med gränsvärden inom flervariabelanalysen.

Däremot är det ju så att man kan närma sig en punkt från fler håll än bara parallellt med real- och imaginäraxlarna. Som jag sa i mitt första inlägg så betyder det att detta bevis inte är tillräckligt för att visa att en funktion som uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer också är analytisk, bara motsatsen, d.v.s. att en funktion som är analytisk uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer. Därför måste du finna något sätt att bevisa den andra delen av "om och endast om"-påståendet.

Svara
Close