18 svar
199 visningar
mrlill_ludde är nöjd med hjälpen!
mrlill_ludde 512
Postad: 27 dec 2018

Bevis: Formulera och bevisa Cauchys integralformel.

Vill som sagt bara kolla så att jag får allting med, och att allt står rätt till. Detta är en tentafråga, så var kritiska ^^

Sats: Låt Γ\Gamma vara en sluten kurva i positiv riktning som begränsar ett sammanhängande mängd,D. Som är analytisk till Γ\Gamma då gäller: 

f(z0)=12πiΓf(z)dzz-z0f(z_0) = \frac{1}{2\pi i } \int_{\Gamma} \frac{f(z) dz}{z-z_0}

Bevis: Om vi byter ut Γ\Gamma mot cirkeln γϵ\gamma_{\epsilon} som ges av |z-z0|<ϵ|z-z_0| <> , så att ϵ\epsilon blir innesluten i D. så får vi 

$$\int_{\Gamma} \frac{f(z) dz}{z-z_0} = \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z) dz}{z-z_0}$$ så: 

f(z)z-z0=f(z)-f(z0)z-z0+f(z0)z-z0\frac{f(z)}{z-z_0} = \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} + \frac{f(z_0)}{z-z_0}

Och vi vet att γϵf(z0)z-z0dz=f(z0)γϵdzz-z0=2πi*f(z0)\int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz = f(z_0) \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i * f(z_0)

Maclaurin uppskattningen ger 

|γϵf(z)-f(z0)z-z0dz|2πMϵ->0|\int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz| \ge 2\pi M_{\epsilon} -> 0ϵ->0\epsilon -> 0

Där $$M_{\epsilon} är maximum på $$\gamma_{\epsilon}$$

AlvinB 2506
Postad: 27 dec 2018

Jag tycker du missar en viktig del i formuleringen, nämligen att funktionen ff skall vara analytisk på området DD samt att z0z_0 måste ligga inuti DD.

Sen vet jag inte om det krävs av uppgiften att du skall bevisa att det är giltigt att byta ut Γ\Gamma mot γϵ\gamma_{\epsilon}, men jag skulle göra det för att vara på säkra sidan.

Du borde även visa hur du får att:

γϵdzz-z0=2πi\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i

Det sista du skriver begriper jag inte. Maclaurinuppskattning av vadå? Hur ger det att det är större än maxvärdet på kurvan? Varför går maxvärdet mot noll när ϵ\epsilon går mot noll?

Slutligen behöver du också tydliggöra att du faktiskt bevisat formeln.

mrlill_ludde 512
Postad: 27 dec 2018
AlvinB skrev:

Jag tycker du missar en viktig del i formuleringen, nämligen att funktionen ff skall vara analytisk på området DD samt att z0z_0 måste ligga inuti DD.

Sen vet jag inte om det krävs av uppgiften att du skall bevisa att det är giltigt att byta ut Γ\Gamma mot γϵ\gamma_{\epsilon}, men jag skulle göra det för att vara på säkra sidan.

Du borde även visa hur du får att:

γϵdzz-z0=2πi\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i

Det sista du skriver begriper jag inte. Maclaurinuppskattning av vadå? Hur ger det att det är större än maxvärdet på kurvan? Varför går maxvärdet mot noll när ϵ\epsilon går mot noll?

Slutligen behöver du också tydliggöra att du faktiskt bevisat formeln.

 ML-uppskattnig menar jag **  (maxililkihood)

Hur skulle man bevisa att man får byta ut Γ\Gamma mot γϵ\gamma_{\epsilon}
Meeen gjorde jag inte så att jag visade γepsilon·\int_\gamma_{epsilon} \cdot = 2\pi i $$ väl? =/ 

Kommer inte riktigt ihåg vilket universtitet jag fann den här på, 

AlvinB 2506
Postad: 27 dec 2018 Redigerad: 27 dec 2018

Det är viktigt att du inte bara kopierar saker till höger och vänster när du skriver bevis. Är det något du inte skriver på pappret ska det vara självklart för dig varför det är så. Annars bör det definitivt förklaras i beviset.

1. Jag tror inte du menar Maximum likelihood-uppskattning (det är nåt inom statistik). Jag tror du pratar om följande uppskattning för en kurvintegral:

|Cfz dz|M·L\displaystyle|\int_C f\left(z\right)\ dz|\leq M\cdot L

där MM är det största funktionsvärdet på kurvan och LL är kurvans längd. I ditt fall är L=2πϵL=2\pi\epsilon (cirkel med radie ϵ\epsilon) vilket ger:

|γϵf(z)-f(z0)z-z0 dz|2πϵMϵ\displaystyle|\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ dz|\leq 2\pi\epsilon M_{\epsilon}

där MϵM_{\epsilon} betecknar det största värdet f(z)-f(z0)z-z0\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} antar på kurvan γϵ\gamma_{\epsilon}.

Sedan kan du använda relationen

γϵf(z)-f(z0)z-z0 dz=γϵf(z)z-z0 dz-2πifz0\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ dz=\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz-2\pi if\left(z_0\right)

och låta ϵ0\epsilon\to0 vilket ger Cauchys integralformel.

2. Γ\Gamma är en sluten kurva som innesluter z0z_0. Det kan se ut ungefär så här:

Säg då att vi drar en cirkel kring z0z_0 och lägger till två vertikala linjestycken. Då får vi:

De vertikala linjestyckena kommer ta ut varandra (i och med att de genomlöps två gånger åt motsatta håll) och vi blir kvar med Γ-γϵ\Gamma-\gamma_{\epsilon} (minustecknet kommer eftersom γϵ\gamma_{\epsilon} genomlöps åt fel håll). Eftersom diskontinuiteten hos integranden inte innesluts av dessa kurvor ger Cauchys integralsats:

Γf(z)z-z0 dz-γϵf(z)z-z0 dz=0\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz-\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz=0

Γf(z)z-z0 dz=γϵf(z)z-z0 dz\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz=\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz

Således har kurvintegralerna för de båda kurvorna samma värde. Samma resonemang fungerar för i stort sett alla slutna kurvor och integrander så länge kurvan innesluter diskontinuiteten.

3. Det är ganska enkelt att visa genom att parametrisera kurvan. En cirkel med radie ε\varepsilon centrerad i z0z_0 parametriseras av:

γ(t)=z0+εeit,0t2π\gamma(t)=z_0+\varepsilon e^{it}, 0\leq t\leq2\pi

Då blir integralen:

γϵ1z-z0 dz=02π1z0+εeit-z0·iεeit dt=02πi dt=2πi\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z-z_0}\ dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{z_0+\varepsilon e^{it}-z_0}\cdot i\varepsilon e^{it}\ dt=\int_0^{2\pi}i\ dt=2\pi i

Albiki 3456
Postad: 27 dec 2018 Redigerad: 27 dec 2018

Cauchys integralformel. 

  • Låt f:Uf : U \to \mathbb{C} vara en funktion som är analytisk på en öppen delmängd (UU) till det komplexa talplanet \mathbb{C}.
  • Låt DD vara en cirkelskiva som ligger helt inuti mängden UU.

Funktionens värden inuti cirkelskivan bestäms helt och hållet av funktionens värden på cirkelskivans positivt orienterade rand (D\partial D).

    f(a)=12πiDf(z)z-adz ,  aD.\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-a}\,dz\ , \quad a \in D.

Albiki 3456
Postad: 27 dec 2018

Beviset av Cauchys integralformel bygger på Cauchys integralsats (som är den viktigaste satsen inom komplex analys).

Cauchys integralsats.

  • Låt g:Ug: U \to \mathbb{C} vara en funktion som är analytisk på en öppen delmängd (UU) till det komplexa talplanet .\mathbb{C}.
  • Låt definitionsmängden UU vara en enkelt sammanhängande mängd.
  • Låt γ\gamma vara en enkel sluten kurva som ligger helt inuti mängden UU

    γg(z)dz=0\displaystyle\oint_{\gamma}g(z)\,dz = 0.

Albiki 3456
Postad: 27 dec 2018

Notera att funktionen f(z)/(z-a)f(z)/(z-a) är inte analytisk på cirkelskivan DD, eftersom punkten aa ligger inuti cirkelskivan och nämnaren blir noll när z=az=a; därför kan man inte använda g(z)=f(z)/(z-a)g(z) = f(z)/(z-a) i Cauchys integralsats.

Däremot kan man använda Cauchys integralsats på funktionen g(z)=f(z)/(z-a)g(z) = f(z)/(z-a) om man utesluter den farliga punkten aa; det gör man lämpligen genom att omringa punkten aa med en liten cirkelskiva CϵC_\epsilon med liten radie ϵ\epsilon.

Albiki 3456
Postad: 27 dec 2018

Den ihåliga cirkelskivan DCϵD\setminus C_\epsilon är en enkelt sammanhängande mängd och dess rand D-Cϵ\partial D - \partial C_{\epsilon} är en enkel sluten kurva som ligger helt inuti den öppna mängden UU.  Då ger Cauchys integralsats 

    D-Cϵf(z)z-adz=0Df(z)z-adz=Cϵf(z)z-adz\displaystyle \oint_{\partial D-\partial C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 0 \iff \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = \oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

Det återstår att visa att oavsett hur liten radien ϵ\epsilon än är så är linjeintegralen

    Cϵf(z)z-adz=2πi·f(a)\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i \cdot f(a).

mrlill_ludde 512
Postad: 30 dec 2018
AlvinB skrev:

Det är viktigt att du inte bara kopierar saker till höger och vänster när du skriver bevis. Är det något du inte skriver på pappret ska det vara självklart för dig varför det är så. Annars bör det definitivt förklaras i beviset.

1. Jag tror inte du menar Maximum likelihood-uppskattning (det är nåt inom statistik). Jag tror du pratar om följande uppskattning för en kurvintegral:

|Cfz dz|M·L\displaystyle|\int_C f\left(z\right)\ dz|\leq M\cdot L

där MM är det största funktionsvärdet på kurvan och LL är kurvans längd. I ditt fall är L=2πϵL=2\pi\epsilon (cirkel med radie ϵ\epsilon) vilket ger:

|γϵf(z)-f(z0)z-z0 dz|2πϵMϵ\displaystyle|\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ dz|\leq 2\pi\epsilon M_{\epsilon}

där MϵM_{\epsilon} betecknar det största värdet f(z)-f(z0)z-z0\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} antar på kurvan γϵ\gamma_{\epsilon}.

Sedan kan du använda relationen

γϵf(z)-f(z0)z-z0 dz=γϵf(z)z-z0 dz-2πifz0\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ dz=\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz-2\pi if\left(z_0\right)

och låta ϵ0\epsilon\to0 vilket ger Cauchys integralformel.

2. Γ\Gamma är en sluten kurva som innesluter z0z_0. Det kan se ut ungefär så här:

Säg då att vi drar en cirkel kring z0z_0 och lägger till två vertikala linjestycken. Då får vi:

De vertikala linjestyckena kommer ta ut varandra (i och med att de genomlöps två gånger åt motsatta håll) och vi blir kvar med Γ-γϵ\Gamma-\gamma_{\epsilon} (minustecknet kommer eftersom γϵ\gamma_{\epsilon} genomlöps åt fel håll). Eftersom diskontinuiteten hos integranden inte innesluts av dessa kurvor ger Cauchys integralsats:

Γf(z)z-z0 dz-γϵf(z)z-z0 dz=0\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz-\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz=0

Γf(z)z-z0 dz=γϵf(z)z-z0 dz\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz=\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)}{z-z_0}\ dz

Således har kurvintegralerna för de båda kurvorna samma värde. Samma resonemang fungerar för i stort sett alla slutna kurvor och integrander så länge kurvan innesluter diskontinuiteten.

3. Det är ganska enkelt att visa genom att parametrisera kurvan. En cirkel med radie ε\varepsilon centrerad i z0z_0 parametriseras av:

γ(t)=z0+εeit,0t2π\gamma(t)=z_0+\varepsilon e^{it}, 0\leq t\leq2\pi

Då blir integralen:

γϵ1z-z0 dz=02π1z0+εeit-z0·iεeit dt=02πi dt=2πi\displaystyle\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z-z_0}\ dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{z_0+\varepsilon e^{it}-z_0}\cdot i\varepsilon e^{it}\ dt=\int_0^{2\pi}i\ dt=2\pi i

 

https://people.kth.se/~haakanh/courses/SF1628/SF1628-2017/Lectures/SF1628-F7.pdf

Hitta den! :D 

Men så säger man då "ML uppskattning"? 

AlvinB 2506
Postad: 1 jan 2019 Redigerad: 1 jan 2019

Jo, ML-uppskattning, inte Maximum-likelihood.

Men det där beviset är inte fullständigt. Du måste ju även förklara varför

|γϵf(z)-f(z0)z-z0 dz|0\displaystyle|\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\ dz|\to0

bevisar Cauchys integralformel.

Jag tycker även att du kan utveckla hur du får olikheten med 2πMϵ2\pi M_{\epsilon}. För att få fram det krävs nämligen mer än att bara göra en ML-uppskattning av integralen.

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019
Albiki skrev:

Den ihåliga cirkelskivan DCϵD\setminus C_\epsilon är en enkelt sammanhängande mängd och dess rand D-Cϵ\partial D - \partial C_{\epsilon} är en enkel sluten kurva som ligger helt inuti den öppna mängden UU.  Då ger Cauchys integralsats 

    D-Cϵf(z)z-adz=0Df(z)z-adz=Cϵf(z)z-adz\displaystyle \oint_{\partial D-\partial C_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 0 \iff \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = \oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.

Det återstår att visa att oavsett hur liten radien ϵ\epsilon än är så är linjeintegralen

    Cϵf(z)z-adz=2πi·f(a)\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i \cdot f(a).

 Man kan skriva f(z)=f(a)+f(z)-f(a)f(z) = f(a) + f(z) - f(a) vilket visar att linjeintegralen kan skrivas som en summa av två linjeintegraler längs den lilla cirkeln CϵC_\epsilon.

    Cϵf(a)z-adz+Cϵf(z)-f(a)z-adz.\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{f(a)}{z-a}\,dz + \oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz.

Den första termen är lika med 2πi·f(a)2\pi i\cdot f(a) och den andra termen är lika med noll.

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019

Det första termen beräknas genom att parametrisera den lilla cirkeln

     Cϵ={a+ϵeit ,0t2π}.C_\epsilon = \{a + \epsilon e^{it}\ , 0 \leq t \leq 2\pi\}.

Det betyder att när zCϵz \in C_\epsilon så är z-a=ϵeitz-a = \epsilon e^{it} och differentialen

    dz=iϵeitdtdz = i\epsilon e^{it}\,dt

vilket ger linjeintegralen

    Cϵf(a)z-adz=if(a)t=02πdt=f(a)·2πi.\displaystyle\oint_{C_\epsilon} \frac{f(a)}{z-a}\,dz = i f(a) \int_{t=0}^{2\pi} \,dt = f(a) \cdot 2\pi i.

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019 Redigerad: 1 jan 2019

För att visa att den andra termen är lika med noll visar man att 

    0|Cϵf(z)-f(a)z-adz|Kϵ\displaystyle 0 \leq |\oint_{C_\epsilon} \frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq K \epsilon där KK är en viss konstant. 

Man noterar att denna olikhet ska gälla oavsett hur liten cirkelns radie ϵ\epsilon än är; den enda möjligheten för olikheten att gälla under sådana omständigheter är om linjeintegralen hela tiden är lika med noll. 

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019 Redigerad: 1 jan 2019

För att få en övre begränsning till linjeintegralens modul kan man göra följande uppskattning

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|Cϵ|f(z)-f(a)||z-a||dz|Cϵ1|z-a||dz|·supzCϵ|f(z)-f(a)|\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq \oint_{C_\epsilon}\frac{|f(z)-f(a)|}{|z-a|}\,|dz| \leq \oint_{C_\epsilon} \frac{1}{|z-a|}\,|dz| \cdot \sup_{z\in C_\epsilon}|f(z)-f(a)|.

Notera att när zCϵz \in C_\epsilon så ligger z-a=eitz-a = e^{it} på enhetscirkeln så att dess modul är |z-a|=1|z-a| = 1, vilket ger linjeintegralen

    Cϵ1|z-a||dz|=Cϵ1|dz|=|Cϵ|=2πϵ\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{1}{|z-a|}\,|dz| = \oint_{C_\epsilon} 1\,|dz| = |C_\epsilon| = 2\pi \epsilon 

och den övre begränsningen 

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|2πϵ·supzCϵ|f(z)-f(a)|.\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq 2\pi\epsilon\cdot \sup_{z\in C_{\epsilon}}|f(z)-f(a)|.

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019

Om man kan visa att

    supzCϵ|f(z)-f(a)|K\sup_{z\in C_\epsilon} |f(z)-f(a)| \leq K

där konstanten KK inte beror på cirkeln CϵC_\epsilon så är beviset av Cauchys integralformel klart.

AlvinB 2506
Postad: 1 jan 2019 Redigerad: 1 jan 2019
Albiki skrev:

För att få en övre begränsning till linjeintegralens modul kan man göra följande uppskattning

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|Cϵ|f(z)-f(a)||z-a||dz|Cϵ1|z-a||dz|·supzCϵ|f(z)-f(a)|\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq \oint_{C_\epsilon}\frac{|f(z)-f(a)|}{|z-a|}\,|dz| \leq \oint_{C_\epsilon} \frac{1}{|z-a|}\,|dz| \cdot \sup_{z\in C_\epsilon}|f(z)-f(a)|.

Notera att när zCϵz \in C_\epsilon så ligger z-a=eitz-a = e^{it} på enhetscirkeln så att dess modul är |z-a|=1|z-a| = 1, vilket ger linjeintegralen

    Cϵ1|z-a||dz|=Cϵ1|dz|=|Cϵ|=2πϵ\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{1}{|z-a|}\,|dz| = \oint_{C_\epsilon} 1\,|dz| = |C_\epsilon| = 2\pi \epsilon 

och den övre begränsningen 

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|2πϵ·supzCϵ|f(z)-f(a)|\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq 2\pi\epsilon\cdot \sup_{z\in C_{\epsilon}}|f(z)-f(a)|

 Det här låter konstigt. Varför ligger z-az-a på enhetscirkeln? Det borde väl snarare vara så att z-az-a ligger på en cirkel med radie ϵ\epsilon centrerad i origo. Då blir |z-a|=ϵ|z-a|=\epsilon och

Cϵ1|z-a|dz=Cϵ1ϵdz=1ϵ·Cϵ=1ϵ·2πϵ=2π\displaystyle\oint_{C_{\epsilon}}\frac{1}{|z-a|}\left|dz\right|=\oint_{C_{\epsilon}}\frac{1}{\epsilon}\left|dz\right|=\frac{1}{\epsilon}\cdot\left|C_{\epsilon}\right|=\frac{1}{\epsilon}\cdot2\pi\epsilon=2\pi

Albiki 3456
Postad: 1 jan 2019
AlvinB skrev:
Albiki skrev:

För att få en övre begränsning till linjeintegralens modul kan man göra följande uppskattning

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|Cϵ|f(z)-f(a)||z-a||dz|Cϵ1|z-a||dz|·supzCϵ|f(z)-f(a)|\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq \oint_{C_\epsilon}\frac{|f(z)-f(a)|}{|z-a|}\,|dz| \leq \oint_{C_\epsilon} \frac{1}{|z-a|}\,|dz| \cdot \sup_{z\in C_\epsilon}|f(z)-f(a)|.

Notera att när zCϵz \in C_\epsilon så ligger z-a=eitz-a = e^{it} på enhetscirkeln så att dess modul är |z-a|=1|z-a| = 1, vilket ger linjeintegralen

    Cϵ1|z-a||dz|=Cϵ1|dz|=|Cϵ|=2πϵ\displaystyle\oint_{C_\epsilon}\frac{1}{|z-a|}\,|dz| = \oint_{C_\epsilon} 1\,|dz| = |C_\epsilon| = 2\pi \epsilon 

och den övre begränsningen 

    |Cϵf(z)-f(a)z-adz|2πϵ·supzCϵ|f(z)-f(a)|\displaystyle|\oint_{C_\epsilon}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz| \leq 2\pi\epsilon\cdot \sup_{z\in C_{\epsilon}}|f(z)-f(a)|

 Det här låter konstigt. Varför ligger z-az-a på enhetscirkeln? Det borde väl snarare vara så att z-az-a ligger på en cirkel med radie ϵ\epsilon centrerad i origo. Då blir |z-a|=ϵ|z-a|=\epsilon och

Cϵ1|z-a|dz=Cϵ1ϵdz=1ϵ·Cϵ=1ϵ·2πϵ=2π\displaystyle\oint_{C_{\epsilon}}\frac{1}{|z-a|}\left|dz\right|=\oint_{C_{\epsilon}}\frac{1}{\epsilon}\left|dz\right|=\frac{1}{\epsilon}\cdot\left|C_{\epsilon}\right|=\frac{1}{\epsilon}\cdot2\pi\epsilon=2\pi

 Ja, det stämmer. Det var fel av mig. Då måste man korrigera mitt efterföljande inlägg också till att visa att 

    supzCϵ|f(z)-f(a)|ϵK\displaystyle\sup_{z\in C_\epsilon}|f(z)-f(a)| \leq \epsilon K

för någon konstant KK som inte beror på cirkeln CϵC_\epsilon

mrlill_ludde 512
Postad: 2 jan 2019
Albiki skrev:

Om man kan visa att

    supzCϵ|f(z)-f(a)|K\sup_{z\in C_\epsilon} |f(z)-f(a)| \leq K

där konstanten KK inte beror på cirkeln CϵC_\epsilon så är beviset av Cauchys integralformel klart.

 Så.. räcker det med att man bara säger det där, så är det bra? (Som komplement till det som jag postade fr KTH)

Albiki 3456
Postad: 2 jan 2019 Redigerad: 2 jan 2019
mrlill_ludde skrev:
Albiki skrev:

Om man kan visa att

    supzCϵ|f(z)-f(a)|K\sup_{z\in C_\epsilon} |f(z)-f(a)| \leq K

där konstanten KK inte beror på cirkeln CϵC_\epsilon så är beviset av Cauchys integralformel klart.

 Så.. räcker det med att man bara säger det där, så är det bra? (Som komplement till det som jag postade fr KTH)

 Nej, det räcker inte att bara säga det; du ska även bevisa att så är fallet. Du har citerat fel inlägg. Det du ska visa är att

    supzCϵ|f(z)-f(a)|ϵK.\sup_{z\in C_\epsilon}|f(z)-f(a)| \leq \epsilon K.

Fundera på vad du vet om funktionen ff och se hur denna kunskap kan hjälpa dig att visa olikheten. 

Svara Avbryt
Close