5 svar
110 visningar
villiamriegler är nöjd med hjälpen
villiamriegler 12
Postad: 30 aug 2022 22:43

Bevis med Absolutbelopp

Uppgiften:

Show that the inequality:

a-ba-b

Holds for all real numbers a and b.

 

Min lösning:

a-ba-b (a-b)2(a2-b2)2    (per absolutbeloppets defenition)(a-b)2(a2-b2)2     (a-b)2(a-b)2  

Alltså är vänsterled lika med högerled för alla värden a och b. Detta tillfredställer i och för sig frågan men det känns som att jag defenetivt missar något eller helt enkelt är ute och cycklar.

joculator 5289 – F.d. Moderator
Postad: 31 aug 2022 07:43

Ditt svar är att VL=HL för alla a och b?
Det stämmer inte med ursprungsolikheten.
T.ex med a=2 och b=-1 så fås:
31
Vilket såklart stämmer men lika är de inte.

Smutsmunnen 990
Postad: 31 aug 2022 08:08

Problemet är att du verkar tänka att olikheter kan kvadreras utan att förlora ekvivalens.

Men vi har -3>-5 men (-3)^2 < (-5)^2

Men sen blir det också konstigt när du förenklar a2 till a. Det stämmer ju inte utan a2=|a|.

Tips: utgå ifrån triangelnolikheten |x|+|y||x+y|

Smarta val av x och y leder till satsen.

Smaragdalena 79736 – Lärare
Postad: 31 aug 2022 08:30

Mitt standardtips är naturligtvis: rita! Då ser du hur det är. Lägg upp bilden här.

PATENTERAMERA 5610
Postad: 31 aug 2022 11:25

Här en variant.

|a-b|2 = (a-b)2 = a2 + b2 - 2ab  a2 + b- 2|a||b| = |a|2 + |b|2 - 2|a||b| = (|a|-|b|)2 = ||a|-|b||2.

Således: |a-b|2  ||a|-|b||2, vilket implicerar att |a-b|  ||a|-|b||.

Smutsmunnen 990
Postad: 31 aug 2022 19:20 Redigerad: 31 aug 2022 19:21

Jag kan visa hur jag tänkte också:

|x|+|y||x+y|

sätt x=a-b och y=b. Vi får

|a-b||a|-|b|

Nu sätter vi stället x=b-a och y=a. Vi får

|b-a||b|-|a|

Eftersom|a-b|=|b-a| har vi alltså

|a-b||a|-|b| och |a-b||b|-|a|

Men en av de olikheterna är detsamma som:

|a-b|||a|-|b||

Svara Avbryt
Close