Bevis med Absolutbelopp

Uppgiften:

Show that the inequality:

$|a - b| \geq ||a| - |b||$

Holds for all real numbers a and b.

Min lösning:

$|a - b| \geq ||a| - |b|| \Leftrightarrow \sqrt{{(a - b)}^{2}} \geq \sqrt{{(\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}})}^{2}} (p e r a b s o l u t b e l o p p e t s d e f e n i t i o n) {(a - b)}^{2} \geq {(\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}})}^{2} {(a - b)}^{2} \geq {(a - b)}^{2}$

Alltså är vänsterled lika med högerled för alla värden a och b. Detta tillfredställer i och för sig frågan men det känns som att jag defenetivt missar något eller helt enkelt är ute och cycklar.

Ditt svar är att VL=HL för alla a och b?
Det stämmer inte med ursprungsolikheten.
T.ex med a=2 och b=-1 så fås:
$3 \geq 1$
Vilket såklart stämmer men lika är de inte.

Problemet är att du verkar tänka att olikheter kan kvadreras utan att förlora ekvivalens.

Men vi har -3>-5 men (-3)^2 < (-5)^2

Men sen blir det också konstigt när du förenklar $\sqrt{a^{2}}$ till a. Det stämmer ju inte utan $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

Tips: utgå ifrån triangelnolikheten $| x | + | y | \geq | x + y |$

Smarta val av x och y leder till satsen.

Mitt standardtips är naturligtvis: rita! Då ser du hur det är. Lägg upp bilden här.

Här en variant.

|a-b|² = (a-b)² = a² + b² - 2ab $\geq$ a² + b²- 2|a||b| = |a|² + |b|² - 2|a||b| = (|a|-|b|)² = ||a|-|b||².

Således: |a-b|² $\geq$ ||a|-|b||², vilket implicerar att |a-b| $\geq$ ||a|-|b||.

Jag kan visa hur jag tänkte också:

$| x | + | y | \geq | x + y |$

sätt $x = a - b$ och $y = b$ . Vi får

$| a - b | \geq | a | - | b |$

Nu sätter vi stället $x = b - a$ och $y = a$ . Vi får

$| b - a | \geq | b | - | a |$

Eftersom $| a - b | = | b - a |$ har vi alltså

$| a - b | \geq | a | - | b | o c h | a - b | \geq | b | - | a |$

Men en av de olikheterna är detsamma som:

$| a - b | \geq | | a | - | b | |$

Svara

Visa senaste svar