Bevis med elektronkanon

Uppgiften lyder:

Elektroner åker genom accelerationsspänningen $U_{1}$ i en elektronkanon och får då hastigheten $\vec{v_{1}}$ . Sedan kommer elektronerna in i avståndet mellan två metallplattor som har längden $l$ och avståndet mellan plattorna $d$ . Om spänningen $U_{2}$ finns mellan plattorna får elektronerna, när de passerar, ett hastighetstillskott $\vec{v_{2}}$ , vinkelrätt mot $\vec{v_{1}}$ . Då avlänkas elektronstrålen med vinkeln $α$ , och då gäller följande: $\tan α = \frac{v_{2}}{v_{1}}$

Visa att följande samband gäller:

$\tan α = \frac{U_{2} \cdot l}{2 \cdot U_{1} \cdot d}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag antar att man ska visa att $v_{2} = U_{2} \cdot l$ och att $v_{1} = 2 \cdot U_{1} \cdot d$ men jag vet inte hur (hittar inte kopplingen).

Om vi börjar med $v_1$ , hur stor energi får elektronen av accelerationsspänningen $U_1$ ?

Detta ska vara lika med $\frac{mv_1^2}{2}$ vilket ger dig $v_1$ uttryckt i $U_1$

Sedan till $U_2$ och plattorna. Hur stor blir fältstyrkan mellan plattorna? Hur länge är elektronen mellan plattorna? Hur stor impuls får alltså elektronen av fältet och vad blir hastigheten $v_2$ ?

RITA FIGUR om du inte redan gjort det!

Så $v_{1} = \frac{U_{1} \cdot e \cdot 2}{m_{e}}$ (där e är elementarladdningen)

Fältstyrkan $E = \frac{U_{2}}{d} = \frac{F}{Q}$

Hur får man tiden mellan plattorna?

Impuls $I = m v_{2}^{2} - m v_{1}^{2} = F \cdot ∆ t$

Är det här man ska få $v_{2}$ ?

Så $v_{1} = \frac{U_{1} \cdot e \cdot 2}{m_{e}}$ (där e är elementarladdningen)

Bra, fast du har glömt att skriva med roten-ur

Fältstyrkan $E = \frac{U_{2}}{d} = \frac{F}{Q}$

Ja, det är korrekt, alltså är kraften $F=\frac{U_2}{d}e^{\mathrm{-}}$

Hur får man tiden mellan plattorna?

Det fungerar ungefär som med en kaströrelse, vi har en rörelse i "x-led" ( $v_1$ ) och en i "y-led" ( $v_2$ ). Elektronen accelereras i "y-led". Jämför med gravitationen i en kastbana. Eftersom hastigheten i "x-led" är konstant ges tiden mellan plattorna av $\Delta t=L/v_1$

Impuls $I = m v_{2}^{2} - m v_{1}^{2} = F \cdot ∆ t$
Är det här man ska få $v_{2}$ ?

Ja, impulsen i "y-led" ger hastigheten $v_2$ . Men hastigheterna ska inte kvadreras och tänk på att du redan har använt $v_1$ . Från början är hastigheten i "y-led" 0. Alltså blir formeln $\Delta p=m_e v_2-0=F\cdot \Delta t$ . Kan du kombinera formlerna och få fram $v_2$ ?

Edit: Om du tycker att det känns lite läskigt att räkna med impuls kan du istället använda formlerna för likformigt accelerad rörelse. Det fungerar precis som en kastparabel där g ersätts av den acceleration E-fältet ger elektronen under den tid elektronen befinner sig mellan plattorna. Det blir förvisso lite krångligare och mindre elegant, men kanske känns mer bekant.

Det fungerar ungefär som med en kaströrelse, vi har en rörelse i "x-led" (v1) och en i "y-led" (v2). Elektronen accelereras i "y-led". Jämför med gravitationen i en kastbana. Eftersom hastigheten i "x-led" är konstant ges tiden mellan plattorna av Δt=L/v1

Okej, men hur kommer du fram till att tiden $∆ t = \frac{L}{v^{1}}$ ? Vilken formel använde du? Motsvarar L induktion?

Okej, men hur kommer du fram till att tiden $∆ t = \frac{L}{v^{1}}$ ? Vilken formel använde du? Motsvarar L induktion?

Nej, sträckan är lika med hastigheten gånger tiden (s=vt) om v är konstant. Eftersom hastigheten i x-led är konstant (samma hela tiden elektronen är mellan plattorna) och sträckan elektronen färdas i x-led när den är mellan plattorna är L (jag använder stor bokstav för att du inte ska blanda ihop den med t.ex. Impulsen I. I din bild är det lilla l, sry om det förvirrade dig!) får vi $s=vt\iff L=v_1\Delta t\iff \Delta t=\frac{L}{v_1}$

Okej tack verkligen!

Nu förstår jag hur man får $v_{2} = \frac{U_{2} \cdot e \cdot l}{m_{e} \cdot d \cdot v_{1}}$ och $v_{1} = \sqrt{\frac{U_{1} \cdot e \cdot 2}{m_{e}}}$

För att bevisa att $\tan α = \frac{U_{2} \cdot l}{2 \cdot U_{1} \cdot d}$

ska man ska visa att $v_{2} = U_{2} \cdot l$ och att $v_{1} = 2 \cdot U_{1} \cdot d$ (eftersom $\tan α = \frac{v_{2}}{v_{1}}$ )

Eller är det kanske bara förhållandet $\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{U_{2} \cdot l}{2 \cdot U_{1} \cdot d} = \frac{\frac{U_{2} \cdot e \cdot l}{m_{e} \cdot d \cdot v_{1}}}{\sqrt{\frac{U_{1} \cdot e \cdot 2}{m_{e}}}}$ som ska vara lika?

Försöker själv men 'roten ur' tecknet försvårar det för mig så det blir fel hela tiden. Hur ska jag tänka?

Ja, det är bara förhållandet som ska vara lika. "Knepet" är att inse att du får en $v_1$ i kvadrat i nämnaren eftersom $v_2$ också innehåller $v_1$ . Om du sätter in $v_1$ i uttrycket du fått fram får du rätt svar. För att vara extra tydlig kan man vänta med att sätta in uttrycket för $v_1$ . Vi bildar kvoten $\frac{v_2}{v_1}$ med det $v_2$ du fått fram

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{\frac{U_2el}{m_edv_1}}{v_1}=\frac{U_2el}{m_edv_1^2}$

Slutligen sätter vi in uttrycket för $v_1^2$

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{U_2el}{m_ed \frac{2eU_1}{m_e}}=\frac{U_2l}{2U_1d}$

Är du med på det?

Naturligtvis! Det ska bli en kvadrat! Tack så väldigt mkt!

Svara Avbryt

Visa senaste svar