Bevis med modulo räkning

Visa att $n^{2} \equiv 0$ eller $n^{2} \equiv 1 (m o d 3)$ gäller för alla heltal.

Jag vet inte hur jag måste börja tänka med detta.

Jag antar att alla multipel av 3 kommer att ge resten 0...? Men vad om $n^{2} \equiv 1$ ?

Kan ni ge lite tänketrådar?

Är du med på att n kan skrivas som antingen 3k, 3k+1 eller 3k+2? Prova att kvadrera de tre alternativen var för sig.

Varför 3k? Vad om n är inte delbar med 3?

Då får vi något av de två andra alternativen.

$n \equiv 0 (m o d 3) \Rightarrow n = 3 k n \equiv 1 (m o d 3) \Rightarrow n = 3 k + 1 n \equiv 2 (m o d 3) \Rightarrow n = 3 k + 2$

Ok jag testar!

${(3 k)}^{2} = 9 k^{2}$ som har resten noll

${(3 k + 1)}^{2} = 9 k^{2} + 6 k + 1$ som har resten ett när delat med modulo 3

${(3 k + 2)}^{2} = 9 k^{2} + 12 k + 4$ som har resten 1.

Och eftersom tal 3 ger en mönster som upprepar sig varje tre tal, det borde funka.

Neat!

Tack!

Svara

Visa senaste svar